13算法案例教案

考试指南报——课堂网（）编辑部地址：武汉市前三眼桥85号（430000）联系电话：027—85789995算法案例一．【课标要求】通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。二．【命题走向】算法是高中数学新课程中的新增内容，本讲的重点是几种重要的算法案例思想，复习时重算法的思想轻算法和程序的构造。预测2010年高考队本讲的考察是：以选择题或填空题的形式出现，分值在5分左右，考察的热点是算法实例和传统数学知识的结合题目三．【要点精讲】1．求最大公约数（1）短除法求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来（2）穷举法（也叫枚举法）穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数（3）辗转相除法辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下：①输入两个正整数m和n；②求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中；③更新被除数和余数：m=n，n=r；④判断余数r是否为0。若余数为0，则输出结果；否则转向第②步继续循环执行如此循环，直到得到结果为止。（4）更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中记载了更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之步骤：Ⅰ．任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。Ⅱ．以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。2．秦九韶算法秦九韶算法的一般规则：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值问题。用秦九韶算法求一般多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0当x=x0时的函数值，可把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题，即求v0=anv1=anx+an－1v2=v1x+an－2v3=v2x+an－3……..vn=vn－1x+a0考试指南报——课堂网（）编辑部地址：武汉市前三眼桥85号（430000）联系电话：027—85789995观察秦九韶算法的数学模型，计算vk时要用到vk－1的值，若令v0=an。我们可以得到下面的递推公式：v0=anvk=vk－1+an－k(k=1,2,…n)这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现3．进位制（1）概念进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0—9进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。一般地，若k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为：110()110...(0,0,...,,)nnknnaaaaakaaak，而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数。（2）进位制间的转换关于进位制的转换，教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到十进制和其它进制之间的转换。这样做的原因是，计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据，因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，显然运算后首次得到的结果为二进制数，同时计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出。非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可：0111011.........)(.....akakakakaaaannnnnn第一步：从左到右依次取出k进制数)(.....011kaaaann各位上的数字，乘以相应的k的幂，k的幂从n开始取值，每次递减1，递减到0，即00111,,,.........,kakakakannnn；第二步：把所得到的乘积加起来，所得的结果就是相应的十进制数。十进制数转换成非十进制数把十进制数转换为二进制数，教科书上提供了“除2取余法”，我们可以类比得到十进制数转换成k进制数的算法“除k取余法”。非十进制之间的转换一个自然的想法是利用十进制作为桥梁。教科书上提供了一个二进制数据与16进制数据之间的互化的方法，也就是先有二进制数转化为十进制数，再由十进制数转化成为16进制数。四．【典例解析】题型1：求最大公约数例1．（1）用辗转相除法求123和48的最大公约数？（2）用更相减损来求80和36的最大公约数？解析：（1）辗转相除法求最大公约数的过程如下：（建立带余除式）考试指南报——课堂网（）编辑部地址：武汉市前三眼桥85号（430000）联系电话：027—85789995123＝2×48＋2748＝1×27＋2127＝1×21＋621＝3×6＋36＝2×3+0最后6能被3整除，得123和48的最大公约数为3。（2）分析：我们将80作为大数，36作为小数，执行更相减损术来求两数的最大公约数。执行结束的准则是减数和差相等更相减损术：因为80和36都是偶数，要去公因数2。80÷2=40，36÷2=18；40和18都是偶数，要去公因数2。40÷2=20，18÷2=9下面来求20与9的最大公约数，20－9=1111－9=29－2=77－2=55－2=33－2=12－1=1可得80和36的最大公约数为22×1=4。点评：对比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为0，更相减损术是到达减数和差相等。例2．设计一个算法，求出840与1764的最大公因数。解析：我们已经学习过了对自然数的素因数分解的方法，下面的算法就是在此基础上设计的。解题思路如下：首先对两个数进行素因数分解：840=23×3×5×7，1764=22×32×72，其次，确定两个数的公共素因数：2，3，7。接着确定公共素因数的指数：对于公共素因数2，840中为23，1764中为22，应取较少的一个22，同理可得下面的因数为3和7。算法步骤：第一步：将840进行素数分解23×3×5×7；第二步：将1764进行素数分解22×32×72；第三步：确定它们的公共素因数：2，3，7；第四步：确定公共素因数2，3，7的指数分别是：2，1，1；第五步：最大公因数为22×31×71=84。点评：质数是除１以外只能被１和本身整除的正整数，它应该是无限多个，但是目前没有一个规律来确定所有的质数题型2：秦九韶算法例3．（2009福州模拟）如果执行右面的程序框图，那么输出的S（）考试指南报——课堂网（）编辑部地址：武汉市前三眼桥85号（430000）联系电话：027—85789995A．22B．46C．94D．190答案C2、（2009浙江卷理）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4B．5C．6D．7【解析】对于0,1,1ksk，而对于1,3,2ksk，则2,38,3ksk，后面是113,382,4ksk，不符合条件时输出的4k．答案A3、（2009天津卷理）阅读上（右）图的程序框图，则输出的S=()A26B35C40D57【解析】当1i时，2,2ST；当2i时，7,5ST；当3i时，15,8ST；当4i时，26,11ST；当5i时，40,14ST；当6i时，57,17ST，故选择C。开始1,1is5?i1ii输出s结束否是2(1)ss考试指南报——课堂网（）编辑部地址：武汉市前三眼桥85号（430000）联系电话：027—85789995答案Ｃ4（2009安徽卷文）程序框图上（右）（即算法流程图）如图所示，其输入结果是_______。【解析】根据流程图可得a的取值依次为1、3、7、15、31、63……答案127点评：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值问题。直接法乘法运算的次数最多可到达2)1(nn，加法最多n次。秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次，加法最多n次。例4．已知多项式函数f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，求当x=5时的函数的值。解析：把多项式变形为：f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7=((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7计算的过程可以列表表示为：多项式x系数2－5－43－67运算运算所得的值10251055402670+变形后x的系数25211085342677*5最后的系数2677即为所求的值算法过程：v0=2v1=2×5－5=5v2=5×5－4=21v3=21×5+3=108v4=108×5－6=534v5=534×5+7=2677考试指南报——课堂网（）编辑部地址：武汉市前三眼桥85号（430000）联系电话：027—85789995点评：如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为0的项补齐后再计算。题型3：进位值例5．把十进制数89化为三进制数，并写出程序语句.解析：具体的计算方法如下：89=3×29+229=3×9+29=3×3+03=3×1+01=3×0+1所以:89（10）=1011001(3)。点评：根据三进制数满三进一的原则，可以用3连续去除89及其所的得的商，然后按倒序的先后顺序取出余数组成数据即可。例6．将8进制数314706（8）化为十进制数，并编写出一个实现算法的程序。解析：314706（8）=3×85+1×84+4×83+7×82+0×81+6×80=104902。所以，化为十进制数是104902。点评：利用把k进制数转化为十进制数的一般方法就可以把8进制数314706（8）化为十进制数，然后根据该算法，利用GET函数，应用循环结构可以设计程序。五．【思维总结】1．求最大公约数（1）辗转相除法程序框图与程序语句程序：INPUT“m，n=”;m,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTEND（2）更相减损术更相减损术程序：INPUT“请输入两个不相等的正整数”；a，bi=0开始输入：m,nr=mMODnm=nn=rr=0?输出：开始YN考试指南报——课堂网（）编辑部地址：武汉市前三眼桥85号（430000）联系电话：027—85789995WHILEaMOD2=0ANDbMOD2=0a=a/2b=b/2i=i+1WENDDOIFbaTHENt=aa=bb=tENDIFc=a－ba=bb=cLOOPUNTILa=bPRINTa^iEND对于两个正整数如何选择合适的方法求他们的最大公约数方法适用范围及特点短除法适合两个较小的正整数或两个质因数较少的正整数，简便易操作。穷举法适合计算机操作，但一一验证过于繁琐。辗转相除法适用于两个较大的正整数，以除法为主，辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小差别较大时计算次数较明显。更相减损术适用于两个较大的正整数，更相减损术以减法为主，计算次数上相对于辗转相处法较多。2．我们以这个5次多项式函数为例加以说明，设：f（x）=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0首先，让我们以5次多项式一步步地进行改写：f（x）=（a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1）x+a0=（（a5x3+a4x2+a3x+a2）x+a1）x+a0=（（（a5x2+a4x+a3）x+a2）x+a1）x+a0=（（（（a5x+a4）x+a3）x+a2）x+a1）x+a0上面的分层计算。只用了小括号，计算时，首先计算最内