13级高二数学抛物线复习题及答案

抛物线复习一、选择题1.一动圆圆心在抛物线yx42上，过点(0,1)且与定直线l相切，则l的方程为（C）A.1xB.161xC.1yD.161y2.点M(5,3)到抛物线y=ax2的准线的距离等于6,那么抛物线的方程是(B)(A)y=12x2(B)y=121x2或y=-361x2(C)y=-36x2(D)y=12x2或y=-36x23.过点M（2，4）作与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线l有（C）A．0条B．1条C．2条D．3条4.过抛物线y2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（A）A．8B．10C．6D．45.如果1P，2P，…，8P是抛物线24yx上的点，它们的横坐标依次为1x，2x，…，8x，F是抛物线的焦点，若)(,,,21Nnxxxn成等差数列且45921xxx，则||5FP=（D）．A．5B．6C．7D．9[解析]B根据抛物线的定义，可知12iiipPFxx（1i，2，……，n），)(,,,21Nnxxxn成等差数列且45921xxx,55x,||5FP=66.已知点),4,3(AF是抛物线xy82的焦点,M是抛物线上的动点,当MFMA最小时,M点坐标是（C）A.)0,0(B.)62,3(C.)4,2(D.)62,3([解析]设M到准线的距离为MK,则MKMAMFMA|||，当MKMA最小时，M点坐标是)4,2(，选C二、填空题7.已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C：1)3(22yx外切，则动圆圆心M的轨迹方程为yx122．解：设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，其方程为yx122．8.已知过抛物线29yx的焦点的弦AB长为12，则直线AB倾斜角为3或23。解：由结论：若AB是抛物线22(0)ypxp的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则22sinPAB，有12=29sin（其中α为直线AB的倾斜角），则3sin2，所以直线AB倾斜角为3或23。9.过抛物线2(0)yaxa的焦点F作一直线交抛物线于PQ，两点，若线段PF与FQ的长分别是pq，，则11pq=4a。解析：化为标准方程，得21(0)xyaa，从而12pa．取特殊情况，过焦点F的弦PQ垂直于对称轴，则PQ为通径，即12PQpa，从而12pqa，故114apq10.抛物线y2=2px上弦长为a（a≥2p）的弦的中点到y轴的距离的最小值为2pa。解析：抛物线的准线l的方程为：x=-2p,焦点F（2p，0），记弦的两端点为A、B，AB的中点为M，它们在l上的射影分别是A1，B1，M1；于是有：|AF|=|AA1|，|BF|=|BB1|，M到y轴的距离d=|MM1|-2p=21(|AA1|+|BB1|）-2p=21(|AF|+|BF|）-2p≥21|AB|-2p=2pa,当且仅当A，B，F共线时等号成立。三、解答题11.设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCy轴.证明：直线A、C、O三点共线。【证明】∵抛物线的焦点为F（2p，0），∴经过点F的直线AB的方程可设为x=my+2p，代入抛物线方程，得y2-2pmy-p2=0.设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则y1、y2是该方程的两根，∴y1y2=-p2.∵BC∥x轴，且点C在准线x=-2p上，∴点C的坐标为（-2p，y2）.∴直线OC的斜率为k=111222xyyppy，即k也是直线OA的斜率.∴直线AC经过原点O.12.在平面直角坐标系xOy中，抛物线2yx上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足AOBO（如图所示）．（1）求证直线AB过定点（2）若AOB重心为Ｇ（即三角形三条中线的交点），求其轨迹方程。解析：显然直线AB的斜率存在，记为k，AB的方程记为：y=kx+b,(b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程代入y=x2得：x2-kx-b=0,则有：⊿=k2+4b0①,x1+x2=k②,x1x2=-b③，又y1=x12，y2=x22∴y1y2=b2；而AOBOx1x2+y1y2=0，得：-b+b2=0且b≠0，∴b=1，代入①验证，满足；故y1+y2=k(x1+x2)+2=k2+2；设△AOB的重心为G(x,y)，则x=321xx=3k④,y=321yy=322k⑤,由④⑤两式消去参数k得：G的轨迹方程为3232xy。13.已知点F为抛物线2:4Cyx的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于,AB两点，若点P的纵坐标为(0)mm，点D为准线l与x轴的交点．（Ⅰ）求直线PF的方程；（Ⅱ）求DAB的面积S范围；（Ⅲ）设AFFB，APPB，求证为定值．解：（Ⅰ）由题知点,PF的坐标分别为(1,)m，(1,0)，于是直线PF的斜率为2m，所以直线PF的方程为(1)2myx，即为20mxym．（Ⅱ）设,AB两点的坐标分别为1122(,),(,)xyxy，由24,(1),2yxmyx得2222(216)0mxmxm，所以2122216mxxm，121xx．于是2122416||2mABxxm．点D到直线20mxym的距离22||4mdm，所以2222114(4)2||4||41224mmSABdmmm.因为mR且0m，于是4S，所以DAB的面积S范围是(4,)．（Ⅲ）由（Ⅱ）及AFFB，APPB，得1122(1,)(1,)xyxy，1122(1,)(1,)xmyxym，DlPFABOyx于是1211xx，1211xx（21x）.所以111222221122011(1)(1)xxxxxxxx．所以为定值0．