14-15(一)《高数(工)1》测试卷(连续导数微分)解答

第1页共5页上海应用技术学院2014—2015学年第一学期《高等数学（工）1》测试卷（连续、导数、微分）一．单项选择题（每小题2分，共10分）1.设2110021)(2xxxxxxxf则)(xf在（C）．A．1,0xx处都连续B．1,0xx处都间断C．0x处间断，1x处连续D．0x处连续，1x处间断2．,11)(11xxeexf点0x是)(xf的（B）．A．可去间断点B．跳跃间断点C．无穷间断点D．连续点3．如果)(xf是ll,上的可导奇函数，则)(xf是ll,上的（B）．A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．可能是奇函数也可能是偶函数4．设21sin0()0,0xxfxxx，，则()fx在0x处（A）．A．连续、可导B．连续、不可导C．既不连续也不可导D．无法判断5．函数()yfx在点0x处有增量0.2x，对应函数增量的线性主部等于0.8，则0fx（C）．A．4B．0.16C．4D．1.6第2页共5页二.填空题（每小题3分，共15分）6．设102cos()2cossin0xxfxxkxxx在点0x处连续，则k2．7．在区间3(0,)2内，函数2cos()65sinxfxxxx的间断点个数为4．8．设)(xf在0x处可导，则hxfhxfh)()2(lim00002()fx．9．设)(xfy具有连续的一阶导数，若1)2(f，ef)2(,则11)(xxf1e．10．设332)21())(1(xexxyx，则y2232163112xxyxexxxex．三．计算题（每小题7分，共56分）11．已知11()xxfxx，试补充定义)0(f，使得)(xf在0x处连续．解：为了使)(xf在0x处连续，必须满足0lim()(0)xfxf．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）0011lim()limxxxxfxx01111lim11xxxxxxxx．．．．．．．(3分)02lim111xxx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）所以应补充定义(0)1f，就能使得)(xf在0x处连续．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）第3页共5页12．讨论函数221()32xfxxx间断点的类型．解：函数)(xf的间断点为1x，2x．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）2211111lim()limlim2322xxxxxfxxxx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）2222211lim()limlim322xxxxxfxxxx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）所以，1x是函数)(xf的可去间断点，2x是函数)(xf的无穷间断点．．．．．．．．（7分）13．设2coslnsinsec2xyxx，求dydx．解：21cosln(sin)sec22xyxx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）11sinln(sin)coscot2secsectan22222xxxxxxx．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）21sinln(sin)coscotsectan222xxxxxx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）14．设22[()()]yfxgx，其中f，，g可微，求dy．解：2222()()()()dyfxgxxgxdx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分）222()()()22()()fxgxxxgxgxdx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）15．设)(xyy是由方程01lnxyexy所确定的隐函数，求0xdxdy．解：0x时1ey．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）0111)(xyyyxyexy．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）将0x时1ey代入21eey．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）第4页共5页16．设方程3222txtye确定了函数)(xyy，求dxdy，22dxyd．解：2222362tetedxdytt．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分）5224222229)1(6966ttettteetdxydttt．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）17．设xxysin21，求y．解：)1ln(sinln2xxy，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）2212sin)1ln(cos1xxxxxyy．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）22sin21sin2)1ln(cos)1(xxxxxxyx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）18．设20()sin0xebxfxaxx，问ba,为何值时，)(xf在0x处可导．解：因为)0(f存在，所以函数)(xf在0x处必连续，bf1)0(．．．．．．．．．．．（1分）)0(fbbexfxxx1)(lim)(lim200．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）)0(f0sinlim)(lim00axxfxx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分）由)0()0()0(fff得1b．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）hfhffh)0()0(lim)0(021lim20hehh．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）ahahhfhffhh0sinlim)0()0(lim)0(00．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）由)0()0(ff，得到2a．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.（7分）第5页共5页四．综合题（第19题9分，第20题10分）19．证明：双曲线2xya上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a．解：由2xya得2ayx，22akyx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）设00(,)xy为曲线上任一点，则过该点的切线方程为20020ayyxxx．．．．．．．．（5分）又200xya，令0y，得2000022yxxxxa．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）令0x，得20002ayyyx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）所以此切线与二坐标轴构成的三角形面积为20000122222Sxyxya．．．．．．．（9分）20．设函数)(xf在),(上有定义，在区间2,0上)4()(2xxxf，若对任意的x都满足)2()(xkfxf，其中k是常数．（1）写出)(xf在0,2上的表达式；（2）问k为何值时，)(xf在0x处可导．解：（1）当02x时，220x．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）)4)(2(4)2()2()2()(2xxkxxxkxkfxf．．．．．．．．．．．．．．．．(4分)（2）显然0)0(f，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）4)4(lim0)0()(lim)0(200xxxxfxffxx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(7分)kxxxkxxfxffxx8)4)(2(lim0)0()(lim)0(00．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（9分）故48k21k)(xf在0x处可导．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）