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章勾股定理单元要点分析教材内容勾股定理是我国古代数学的一项伟大成就，勾股定理为我们提供了直角三角形的三边间的数量关系，它的逆定理为我们提供了判断三角形是否属于直角三角形的依据，也是判定两条直线是否互相垂直的一个重要方法，这些成果被广泛应用于数学和实际生活的各个方面．本单元通过数据格子的办法发现直角三角形的三边间的数量关系，得到了“直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方”这个著名的勾股定理，又利用拼图的方法论证勾股定理的合理性．书中介绍了古埃及人做直角的方法，通过学生动手制作，利用勾股数为边的三角形，通过量角器发现所得的三角形是直角三角形，从而推出“如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2时，那么这个三角形是直角三角形”这个勾股定理的逆定理．在使用勾股定理时，应强调直角的前提并分清斜边和直角边，千万不能变成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”在使用勾股定理时，只要三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2，这个三角形是直角三角形，而不应为三角形只有三边具有勾股数，才是直角三角形．因为勾股数只局限于正整数，在信息闭塞的几千年前人们在人同的地方都发现勾股定理，这就是人们想通过勾股定理与外星人沟通的理由．数学目标（三维目标）知民技能：掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题；掌握制定一个三角形是直角三角形的条件，并能运用它解决一些实际问题．过程与方法：经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．情感态度与价值观：通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值．教学重点本单元教学重点是掌握勾股定理及其逆定理的应用．教学难点本单元教学难点是对勾股定理及其逆定理的认识．教学关键本单元为了使学生更好地认识勾股定理，采用了在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理，再利用拼图方法验证勾股定理的内容．课时划分直角三角形三边的关系2课时直角三角形的判定1课时勾股定理的应用2课时小结与复习1课时直角三角形三边的关系（1）教学目标知识与技能：掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法．过程与方法：经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，发展合情推理能力．情感态度与价值观：培养合作、探索的意识，体会数形结合的思想，以及识图能力．重点、难点、关键重点：了解勾股定理的由来，并应用勾股定理解决一些简单问题．难点：对勾股定理的认识．关键：让学生经历观察、归纳、猜想和验证勾股定理，再将a2、b2、c2与正方形面积联系起来，通过比较得到勾股定理．教学准备教师准备：投影仪、补充资料、直尺、圆规．学生准备：两块直角三角尺，其中如下图1的直角三角形带4块来．cba图1教学过程一、创设情境1．教师叙述：人类一直想要弄清其他星球上是否存在着“人”，并试图与“他们”取得联系，那么我们怎样才能与“外星人”接触呢？数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．勾股定理有着悠久的历史，古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这个关系，很多具有古老文化的民族和国家都会说：我们首先认识的数学定理是勾股定理．教师边叙述边利用投影仪，展示有关勾股定理的图片．其中重点说明“希腊发行的一枚纪念邮票”．投影显示问题情境：这是1955年希腊发行的一枚纪念邮票（如图2所示），请你观察这枚邮票图案小方格的个数，你发现了什么？图2图3图4学生活动：观察邮票，在教师的引导下发现最大的正方形面积是两个中、小正方形面积的和，即32+42=52，同时发现中间的直角三角形两直角边分别3和4，斜边是5．继续探究．投影显示下图：图3和图4．教师提出问题：（1）观察图3，正方形A中含有____个小方格，即A的面积是____个单位面积；正方形B中含有_____个小方格，即B的面积是______个单位面积；正方形C中含有_____个小方格，即C的面积是______个单位面积．你是怎样得到上面的结果呢？学生活动：小组合作讨论，然后交流答案．在图3中，A有9个小方格，所以A面积是9个单位面积，B有9个小方格，所以B面积是9个单位面积，C有18个小方格，所以C面积是18个单位面积．教师提出问题：（2）在图4中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？（3）你发现图3中三个正方形A、B、C的面积之间有什么关系呢？图4中的呢？学生活动：小组合作讨论，然后回答问题．解决（2）的方法和（1）类似，解决（3）的问题中可以发现：两块小正方形面积和等于大正方形面积．2．试一试测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：三角尺直角边a直角边b斜边c关系12请你根据已经得到的数据，猜想三边的长度a、b、c之间的关系．学生活动：小组合作交流，动手测量，从中发现a2+b2=c2，即两直角边的平方和等于斜边的平方．二、特殊→一般问题提出．教师提问：是否所有的直角三角形都有这个性质呢？即任作Rt△ABC，∠=90°，BC=a，AC=b，AB=c，如图5，那么，也就是说a2+b2=c2．图5图6学生活动：拿出准备好的学具：4块大小相同的任意直角三角形，小组合作，讨论，寻求答案．分析与点拨：如图6（甲）那样，将四个与Rt△ABC全等的直角三角形放入边长为a+b的正方形内，得到正方形I3，并且I3的边长等于Rt△ABC的斜边C．又如图6（乙）那样，将四个与Rt△ABC全等的直角三角形放入边长为a+b的正方形内，得到边长分别为a，b的两个正方形I1，I2．图14-1-6（甲）与图14-1-6（乙）中的两个大正方形的边长都是a+b，所以它们的面积相等，即c2+4·12ab=a2+b2+4·12aba2+b2=c2师生共识：勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方．a2+b2=c2评析：勾股定理的证明据不完全统计已有400余种证明方法，教学中可以先让学生查阅大量资料，了解勾股定理的背景及其证明，然后在教学时进行交流讨论．三、阅读与思考1．阅读课本P48～50内容．2．思考下列问题．投影显示：如图7所示，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13厘米，BC=10厘米．（1）你能算出BC边上的高AD的长吗？（2）△ABC的面积是多少呢？图7图8教师活动：操作投影仪，引导学生思考问题，关注“学困生”．学生活动：小组合作，讨论，应用所学知识解决问题，然后上讲台演示．答案：（1）12厘米（2）60平方厘米．四、范例学习例1如图8所示，将长为5．41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离AB．（精确到0.01米）思路点拨：本题是勾股定理的应用，关键是确定好Rt△ABC，AB、BC是两条直角边，AC是斜边，然后根据勾股定理可得AB=22225.412.16ACBC≈4.96（米），应该注意的是，斜边的平方减去其中一条直角边的平方的开平方运算问题．教师活动：板演例1，对书写表达格式进行要求．学生活动：参与教师讲例，理解勾股定理的实际应用．媒体使用：投影显示例1．五、随堂练习1．课本P51练习第1，2题．2．补充题：分别以图9（a）的直角三角形三边长为边作正方形，得到图9（b），那么这三个正方形的面积有什么关系呢？图9六、课堂总结1．勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2；2．勾股定理应用提示：（1）勾股定理只在直角三角形中成立，运用时，必须分清斜边、直角边，然后再使用；若没有告诉斜边的情况下，经常有两解，勿漏解．（2）勾股定理将“形”转化为“数”，而这对于实际问题的解决起着积极的作用．3．勾股定理的作用：（1）已知直角三角形任意两边，求第三边；（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系；（3）用于说明平方关系；（4）作长为n的线段．七、布置作业1．课本P54习题14．1第1，2，3题．2．选用课时作业设计．八、课后反思（略）．第一课时作业设计一、填空题1．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．（1）若a=8，b=15，则c=________．（2）c=10，a：b=3：4，则a=______，b=_______．（3）若a=b，c2=m，则a2=________．（4）若c=61，a=60，则b=________．2．请写出满足勾股定理：a2+b2=c2的三组数组________．3．要登上12m高的建筑物，为安全起见，需使梯子的底端离建筑物5m，至少需要_______m长的梯子．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，S△ABC=30cm2，则AB=_______．5．等腰△ABC的腰长AB=10cm，底BC=16cm，则底边上的高为______．面积为____．6．已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=8，AD=4，BC=6，则以DC为边的正方形面积为_______．7．在△ABC中，∠C=90°，若a=5，b=12，则c=_______．8．一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为_______．二、判断9．若a，b，c是△ABC的三边，则a2+b2=c2．（）10．若a，b，c是直角△ABC的三边，则a2+b2=c2．（）11．若正方形的面积为2cm2，则它的对角线长为2cm．（）三、选择题12．下列几组数中，能满足勾股定理的是（）．A．3，4，6B．4，5，6C．6，7，8D．9，40，4113．直角三角形两直角边分别为5cm，12cm，其斜边上的高为（）．A．6cmB．8cmC．8060.1313cmDcm14．正方形的对角线长10m，正方形的面积是（）m2．A．100B．75C．50D．25四、解答题15．如图所示，在△ABC中，AB=20cm，AC=13cm，BC边上的高AD=12cm，求BC的长．DCBA．如图所示，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少km处？17．已知△ABC为直角三角形（如图所示），且∠B=90°，D、E分别在BC和AB上，AD2+CE2=AC2+DE2吗？为什么？18．某车间的人字形层架（如图所示）为等腰三角形ABC，跨度AB=24m，上弦AC=13m，求中柱CD（D为底AB的中点）．DCBA答案:一、1．（1）17（2）68（3）2m（4）112．8，15，17或3，4，5或5，12，133．134．13cm5．6m48cm27．138．6810二、9．×10．×11．∨三、12．D13．D14．D四、15．在Rt△ABC中，由勾股定理得BD=16cm，同理CD=5cm，则BC=BD+DC=21cm．16．设AE=xkm，由勾股定理得AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=CE2，又DE=CE，所以AE2+AD2=BE2+BC2，即x2+152=（25-x）2+102，解得x=10，故E站应建在距A站10km处．17．提示：运用勾股定理列等式，再进行恒等变形18．CD=5.直角三角形三边的关系（2）教学目标知识与技能：掌握勾股定理的运用方法．过程与方法：经历理解勾股定理的运用过程，感悟勾股定理的内涵．情感态度与价值观：通过数学思维活动，发展学生探究意识和合作交流的思想，体会勾股定理对人类发展的重要作用以及它的重大意义和文化价值．重点、难点、关键重点：理解并熟练运用勾股定理．难点：对勾股定理函数的领会．关键：教学中，应鼓励学生经历观察、归纳过程