14生活中的优化问题

高二数学导学案人教A版选修2—2第一章《导数及其应用》印数：245份班级姓名1.4生活中的优化问题举例（1）学习目标1．进一步理解导数的概念，会利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题，并建立它们的导数模型；2．掌握用导数解决实际中简单的最优化问题，构建函数模型，求函数的最值．学习过程一、课前准备（预习教材P34，找出疑惑之处）复习1：求函数)(xfy在[a，b]上的最值的步骤：（1）求()fx在(a，b)上的极值；（2）比较()fx的各极值与区间端点函数值，其中最大的值为最大值，最小的值为最小值．复习2：函数()sinfxxx在[0,]2上的最大值为；最小值为．二、新课导学新知：生活中常遇到求、、等问题，这些问题通常称为优化问题．．．．．问题一——用料最省问题例1班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为2128dm，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm．如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？反思：利用导数解决优化问题的实质是．变式1：如图，用铁丝弯成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为a2m，为使所用材料最省，底宽应为多少？例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？变式2：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使饮料罐的容积最大？※学习小结1．解决最优化的问题关键是建立函数模型，因此首先审清题意，明确常量与变量及其关系，再写出实际问题的函数关系式，对于实际问题来说，需要注明变量的取值范围．高二数学导学案人教A版选修2—2第一章《导数及其应用》印数：245份班级姓名2．实际问题中在变量的范围内若只有一个极值点，那么它也是最值点．课后作业1．以长为10的线段AB为直径为圆，则它的内接矩形面积的最大值为（）A．10B．15C．25D．502．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为（）A．33cmB．1033cmC．1633cmD．2033cm3．若一球的半径为r，则内接球的圆柱的侧面积最大为（）A．22rB．2rC．24rD．212r4．设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为（）A．3VB．32VC．34VD．32V5．已知球的直径为d，当其内接正四棱柱体积最大时的高为．6．面积为S的矩形中，其周长最小的是．7．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为723cm，其底面两邻边长之比为1:2，则它的长为，宽为，高为时，可使表面积最小．8．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27，则用料最省时圆柱的底面半径为．9．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去边长都为x的小正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？10．一条长为100cm的铁丝截成两段，分别弯成一个正方形和一个圆形，要使正方形和圆的面积之和最小，则两段铁丝的长度分别是多少？11．在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其下底为直径，其他三边为圆的弦，求梯形面积最大时，梯形的上底长为多少？xxxx6060高二数学导学案人教A版选修2—2第一章《导数及其应用》印数：245份班级姓名1．4生活中的优化问题举例（2）学习目标掌握用导数解决实际中简单的最优化问题，构建函数模型，求函数的最值．学习过程（预习教材P34~P36，找出疑惑之处）问题二——利润最大问题【背景】（1）你是否注意过，市场上等量的小包装物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？例1某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是20.8r分，其中r是瓶子的半径（单位：cm）．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm．问：（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？例2已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为1004Cq，价格p与产量q的函数关系式为qp8125．求产量q为何值时，利润L最大？【分析】利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．例3已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是4()3bba元/件时，可卖出c件．市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%，现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？高二数学导学案人教A版选修2—2第一章《导数及其应用》印数：245份班级姓名课后作业1．某公司生产某种新产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益与年产量的关系是，则总利润最大时，每年生产的产品是（）A．100B．150C．200D．3002．某商品在最近30天的价格()ft与时间t（天）的函数关系是()10(030,)fttttN，销售量()gt与时间t的函数关系是()35(030,)gttttN，则这种商品的销售额的最大值为（）A．406B．506C．200D．5003．某运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车运营的总利润y（万元）与运营年数)(Nxx满足128123xxy．若要使运营年平均利润最大，则每辆客车要运营（）A．3年B．4年C．5年D．6年4．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为2115.05xxL和xL22，其中x为销售量（单位：辆）．若在甲、乙两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为．5．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，且每生产一件产品，成本增加1万元．若总收入R是产量Q的函数：220014)(QQQR，则总利润)(QL的最大值是．6．某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（L）关于行驶速度x（km/h）的函数解析式为：)1200(880312800013xxxy．已知甲乙两地相距100km，为了使汽车从甲地到乙地耗油量最少，汽车的行驶速度应为．7．已知生产一件某种商品的成本为30元，在某段时间内若以单价x元出售，可卖出（200-x）件，问：应如何定价才能使利润最大？8．某公司生产某种产品的固定成本是20000元，且每生产一件产品，成本增加100元．已知总收益R与年产量x的关系是．，，，40080000400021400)(2xxxxxxR，（1）将利润表示为年产量的函数)(xf；（2）当年产量为何值时，公司所获利润最大？9．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满；房间单价每增加10元，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用．房间定价多少时，宾馆利润最大？高二数学导学案人教A版选修2—2第一章《导数及其应用》印数：245份班级姓名1.4生活中的优化问题举例（3）学习目标掌握用导数解决实际中简单的最优化问题，构建函数模型，求函数的最值．学习过程问题三——其他应用问题例1（1）已知物体的运动方程是23stt（t的单位：s，s的单位：m），则物体在时刻4t时的速度v=，加速度a．（2）一个距地心距离为R，质量为M的人造卫星，与地球之间的万有引力F由公式2GMmFr给出，其中M为地球质量，G为常量．求F对于r的瞬时变化率．例2已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线24xy在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长．例3如图，有甲乙两个工厂，甲厂位于一直线形河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，位于离河岸4km的B处，到河岸的垂足D与A相距5km，两厂要在此岸合建一个供水站C，已知从供水站到甲厂和乙厂的水管铺设费用分别为每千米3a和5a元．问：供水站C建在岸边何处才能使水管铺设费用更省？练习：日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100cxxx．求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率；（1）90%；（2）98%．A(甲)B(乙)DC·高二数学导学案人教A版选修2—2第一章《导数及其应用》印数：245份班级姓名课后作业1．已知物体的运动方程是1313tv，其中v表示速度，t表示时间，则物体在2t时的加速度为（）A．4B．311C．37D．92．如图，质点P在半径为r的圆周上沿逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为1rad/s．设A为起点，则在t时刻，点P在x轴上的射影M的速度为（）A．trsinB．trsinC．trcosD．trcos第2题第3题3．如图，已知路灯A距离地面为8m，一名身高为1.6m的人以84m/min的速率从路灯下方C处沿直线离开路灯，则此人离开3min时，人影长度的变化率为（）A．sm/207B．sm/247C．sm/227D．sm/2374．某物体做直线运动，其运动规律是tts32，其中t（单位：s）表示时间，s（单位：m）表示位移，则它在4s末的瞬时速度为．5．在测量某物理量的过程中，由于仪器和观测误差,n次测量分别得到nxxx,,,21共n个数据．我们规定所测量物理量的“最佳近似值”x是这样一个量：与其他近似值比较，x与各数据的差的平方和最小．据此规定，从nxxx,,,21推出的x=．6．两辆汽车在十字路口相遇后，又沿不同方向继续前进，已知A车向北行驶，速率为30km/h；B车向东行驶，速率为40km/h，则两车间直线距离的增加速率为．7．一个物体做阻尼振动（振幅随时间减小的振动），振动规律为)62sin(2teyt，求该运动物体的速度与加速度．8．如图，在一半径为r的圆桌中心上空挂一盏灯，问：要挂多高才能使圆桌边缘部分照的最亮？（灯光的亮度T与光线的投射角的余弦成正比，而与光源的距离s的平方成反比，即2cossAT，其中A为比例常数）·ACxyOPMAhsr高二数学导学案人教A版选修2—2第一章《导数及其应用》印数：245份班级姓名