14第九章拉普拉斯变换

第九章拉普拉斯变换§1.拉普拉斯变换的概念一.拉普拉斯变换的定义定义：设函数tf是定义在,0内的实值函数,如果对于复参数js,积分dtetfsFst0在复平面的某一域内收敛,则称sF为tf的拉普拉斯变换,记作sFLtf;称tf为sF的拉普拉斯逆变换,记作tfLsF1.相应地称sF为tf的像函数,称tf为sF的像原函数.结论:LtfFtetutf.例1.分别求出单位阶跃函数u(t),符号函数sgnt以及函数f(t)=1的拉普拉斯变换.例2.分别求出函数tjtte,e,e0的拉普拉斯变换.(其中0,为实常数,0).二.拉普拉斯变换存在定理定理1设函数tf满足条件:(1)在0t的任何有限区间上分段连续;(2)当t时,tf具有有限的增长性,即存在常数M0及0c,使得tMetfct0(其中c称为tf的增长指数).则像函数sF在右半平面Resc上一定存在并解析.例3.求函数tetf的拉普拉斯变换.(其中为复常数)§2.拉普拉斯变换的性质一.线性与相似性质1.线性性质设sFLtf,sGLtg,,为常数,则有LtgtfsGsF,LtgtfsGsF1.例4.求tcos的拉普拉斯变换.例5.已知2115ssssF,求LsF1.2.相似性质设LsFtf,则对于任意a0,有LasFaatf1.二.微分性质1.导数的像函数设LsFtf,则有L0fssFtf;一般地,有L000121nnnnnffsfssFstf.例6.求解微分方程,tyty02.y,y000例7求mttf的拉普拉斯变换.(m≥1为正整数).2.像函数的导数设LsFtf,则有sFLtft,一般地,有nnsF1Ltftn.例8．求tttfsin的拉普拉斯变换.例9.求tttf22cos的拉普拉斯变换.三.积分性质1.积分的像函数设LsFtf,则有LsFsdft10;一般地,有LsFsdtdtdfntnttn10110011.2.像函数的积分设LsFtf,则有SdssF11Lttf,一般地,有SnnssndsdsdssFn1111Lnttf.例10.求tttfsin的拉普拉斯变换.例11.计算下列积分:(1)032tdtcoset.(2)01dtettcost.四.延迟与位移性质1.延迟性质设LsFtf,当t0时,f(t)=0,则对任一非负实数有设LsFetfs.例12设f(t)=sint,求L2tf.例13求Lses111.2.位移性质设LsFtf,则有LasFtfeat.(a为一个复常数)例14设Ltf=F（s），求Ltafeta.(a0)五.周期函数的像函数设tf是,0内以T为周期的函数，且tf在一个周期内分段光滑，则LTstsTdtetfetf011.例14求正弦波ttfsin的像函数.六.卷积与卷积定理1.卷积若当t0时,有021tftf恒成立,则有tftf21ttdtff0210.例15求函数ttf1与tsintf2的卷积.2.卷积定理定理2设sF1Ltf1,sF2Ltf2,则有Ltftf21sFsF21.例16已知2221sssF,求tfLsF1.§3拉普拉斯逆变换一.反演积分公式jjtstdsesFjtf021.二.利用留数计算反演积分定理3设F(s)除在半平面Recs内有限个孤立奇点nsss,,21外解析,且当s时,0sF,则有jjnkksttstsesFsdsesFjtf0,Re211.例17已知2121sssF,求tfLsF1.§4拉普拉斯变换的应用及综合举例一求解常微分方程(组)例18求解微分方程.xx,tcosetxtxtxt000222例19求解微分方程组,etytxty,etytxtxtt223x(0)=y(0)=1.二综合举例例20求函数其它,t,ttf0101的像函数.例21求解积分方程00a.dxxftxsinattft第九章拉普拉斯变换(习题课)1.利用拉普拉斯变换的性质计算Ltf.(1),tsintetft23(2).2sin30dettft2.利用拉普拉斯变换的性质计算L.sFi1(1)11111sssF;(2)112sslnsF;(3)22312sssF;(4)22411ssF.3.求下列像函数F(s)的拉普拉斯逆变换.(1)bsasssF;(2)4524ssssF;(3)45124sssF.4.求卷积nmtt(m,n为正整数).