16-截面的几何性质解析

工程力学附录截面的几何性质附录截面的几何性质AFNPIT轴向受拉压杆横截面上的应力：受扭圆杆横截面上的应力：截面的几何性质——反映截面形状与尺寸的量附录截面的几何性质§1定义1.静矩（面积矩）——图形对y轴的静矩AyAzSdAzAySd静矩的单位：m3，cm3，mm3yzOyz杆件的横截面——图形对z轴的静矩dA附录截面的几何性质§1定义2.惯性矩——图形对y轴的惯性矩AyAzId2AzAyId2惯性矩的单位：m4，cm4，mm4——图形对z轴的惯性矩yzOyz杆件的横截面dA附录截面的几何性质yzOyz杆件的横截面dA§1定义3.惯性积—图形对y、z轴的惯性积AyzAzyId惯性积、极惯性矩的单位：m4，cm4，mm4—图形对坐标原点的极惯性矩4.极惯性矩AAId2Pρ附录截面的几何性质§1定义3.惯性积AyzAzyId4.极惯性矩AAId2P1.静矩（面积矩）AyAzSdAzAySd2.惯性矩AyAzId2AzAyId2AAydz22zyII平面图形对坐标原点的极惯性矩，等于该图形对两直角坐标轴惯性矩的和yzOyz杆件的横截面dAρ附录截面的几何性质例：试计算图示三角形截面对z轴的静矩。解：yyhhbd)(yyhhbyAySAAzd)(db(y)ydyAzAySddAyybAd)(d6d)(20bhyyyhhbhyzbhO附录截面的几何性质解：bzyhOAzAySd（dA=bdy）Ayybd22dhhyyb0AzAyId2Aybyd2222dhhyby123bhdAydy例：试计算图示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）z和y的Sz、Sy、Iz、Iy、Iyz、IP。附录截面的几何性质例：试计算图示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）z和y的Sz、Sy、Iz、Iy、Iyz、IP。解：bzyhOzdzAyAzSd（dA=hdz）Azzhd22dbbzzh0AyAzId2Azhzd2222dbbzhz123hbdA附录截面的几何性质解：bzyhOydyzdzAyzAzyId（dA=dzdy）yzzyAdd2222ddhhbbyyzz0AAId2PAAyzd22zyII1222hbhbdA例：试计算图示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）z和y的Sz、Sy、Iz、Iy、Iyz、IP。附录截面的几何性质§2平面图形的形心yzOyczcyzCdA均质等厚薄板重心AAzAzAzAiiCdAAyAyAyAiiCd平面图形的形心AAzAzAzAiiCdAAyAyAyAiiCdASyASzCyzASCzyAS平面图形对某一坐标轴的静矩，数值上等于平面图形的面积与平面图形形心到该坐标轴的距离的乘积附录截面的几何性质yzOyczcCCyzASCzyAS①静矩可能为正、负或零②平面图形对通过其形心的坐标轴的静矩为零；或者说如果一个平面图形对某坐标轴的静矩为零，那么该坐标轴通过平面图形的形心。附录截面的几何性质例：试确定图示T型截面的形心位置。解：zC=0，只需计算yCCCzyyCzCCCzzCyy60206020将截面分为I、II两个矩形，建立如图所示坐标系。两矩形的面积和形心坐标如下：220mm60mm=1200mmAA10mmCy50mmCy22221200mm10mm+1200mm50mm30mm1200mm1200mmiiCCCCiAyAyAyyAAA于是：附录截面的几何性质§3惯性矩与惯性积的平行移轴公式yzOCyczcdAzCyC已知：平面图形对形心轴的AyAzICCd2AzAyICCd2ACCzyAyzICCdab求：平面图形对新坐标轴的yzzyIII附录截面的几何性质yzOCyczcdAzCyCabAyAzId2zACAbzd2ACAbzzCd222AAzCd2ACAzd2AAbd2CyICyS2AAbd2AbICy2同理AzAyId2AaICz2y平面图形对平行于形心轴的任意坐标轴的惯性矩，等于平面图形对形心轴的惯性矩，加上平面图形的面积乘以两轴距离的平方ACCzyAzAyAyzIAyIAzICCCCCCd；d；d22ACAayd2附录截面的几何性质AyzAzyIdACCAaybzdACCCCAabbyazyzdACCAyzdACAzadCCzyICyaSabAabAICCzyyzOCyczcdAzCyCabzy平面图形对平行于形心轴的任意坐标轴的惯性积，等于平面图形对形心轴的惯性积，加上平面图形的面积乘以平面图形的形心在新坐标系的两个坐标值ACAybdAAabdCzbSACCzyAzAyAyzIAyIAzICCCCCCd；d；d22附录截面的几何性质abAIICCzyyzyzOCyczcdAzCyCabzyAbIICyy2AaIICzz2ACCzyAzAyAyzIAyIAzICCCCCCd；d；d22惯性矩和惯性积的平行移轴公式。附录截面的几何性质例：试计算图示矩形截面对于z轴和y轴的Iy、Iz、Iyz。解：bzyhO（dA=bdy）AzAyId2Aybyd2hyby02d33bh平行移轴公式AaIICzz2bhhbh23212dAydyyCzC33bh同理33hbIy422hbIyz附录截面的几何性质§4惯性矩和惯性积的转轴公式已知：平面图形对x、y轴的求：平面图形对新坐标轴的1111xyxyIIIAyxAxyIdAyAxId2AxAyId2附录截面的几何性质AyxAxAyAxyIAyIAxId；d；d22AxAyId211AAxydsincos2AAxyxydcossin2sincos2222AAydcos22AAxydsin2AAxdsin222cosxI2sinyIsin2xyI)2cos1(21cos)2cos1(21sin222sin2cos221xyyxyxxIIIIII附录截面的几何性质AyxAxAyAxyIAyIAxId；d；d22同理2sin2cos221xyyxyxyIIIIII2cos2sin211xyyxyxIIII2sin2cos221xyyxyxxIIIIII惯性矩和惯性积的转轴公式。附录截面的几何性质§5截面的主惯性轴和主惯性矩2cos2sin211xyyxyxIIIIα=0˚时xyyxII11α=90˚时xyyxII11存在α0，使得011yxI此时的x、y轴称为截面的主惯性轴，简称主轴；截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩。附录截面的几何性质yxxyIII22tan002cos2sin20011xyyxyxIIII由224)(2120xyyxyxxIIIIII224)(2120xyyxyxyIIIIII02sin2cos221xyyxyxyIIIIII2sin2cos221xyyxyxxIIIIII主轴主惯性矩附录截面的几何性质注意：2.对于平面内的任意一点，都可以找到一对主轴，求得相应主惯性矩；1.主惯性矩Ix0、Iy0是截面对通过同一点所有坐标轴的惯性矩中的极大值与极小值；3.如果主轴通过截面的形心，称为形心主轴；截面对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。附录截面的几何性质例：试确定图示不等边L形截面的形心主惯性轴的方向，并计算截面的形心主惯性矩。截面形心C的位置已示于图中。附录截面的几何性质矩形Ⅰ的形心在参考坐标系xC,yC中的坐标为aΙ=15mm,bI=20mm矩形Ⅱ的形心在参考坐标系中的坐标为aⅡ=-25mm,bⅡ=-35mm解：(1)取与截面周边平行的形心轴xC，yC作为参考轴。将截面分为Ⅰ，Ⅱ两个矩形(如图所示)AⅠ=1200mm2,AⅡ=700mm2附录截面的几何性质44223223mm104.100])mm25(mm70012)mm70(mm10[])mm15(mm200112)mm10(mm120[CCCxxxIII(2)利用平行移轴公式求截面的,和CxICCyxICyI附录截面的几何性质4422Ιmm103.97)]mm35)(mm25(mm7000[)]mm20()mm15(mm12000[CCCCCCyxyxyxIII由于通过矩形Ⅰ和Ⅱ各自形心而平行于xC，yC的轴是它们各自的对称轴，故上式在计算中每一矩形对于其一对相互垂直的形心轴的惯性积为零。44223223Ιmm104.278])mm35(mm70012)mm10(mm70[])mm20(mm120012)mm120(mm10[CCCyyyIII附录截面的几何性质(3)确定截面的形心主惯性轴xC0，yC0的方向093.1mm104.278mm104.100)mm103.97(222tan4444440CCCCyxyxIII从所示惯性圆可见，2ao180°,且为逆时针转向，于是由tan2a0=1.093和2a0=180°+47.6°=227.6°，而a0=113.8°。图中据此示出了形心主轴xC0和yC0。附录截面的几何性质附录截面的几何性质(4)该截面的形心主惯性矩为4424424444444422maxmm10321)mm103.97(4)mm104.278mm104.100(212mm104.278mm104.1004)(2120CCCCCCCyxyxyxxIIIIIII4422minmm104.574)(2120CCCCCCCyxyxyxyIIIIIII