17二次函数的应用

二次函数的应用一、选择题1.（2011广东株洲）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是()A．4米B．3米C．2米D．1米【答案】D2.（2011山东聊城）某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（）A．50mB．100mC．160mD．200m【答案】C3.（2011河北）一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下列函数关系式：61t5h2）（，则小球距离地面的最大高度是（）A．1米B．5米C．6米D．7米【答案】C二、填空题1.（2011湖南怀化）出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8-x）个，则当x=________元时，一天出售该种手工艺品的总利润y最大.【答案】4三、解答题1、（2011天津）某商品现在的售价为每件35元．每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格．每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少?设每件商品降价x元．每天的销售额为y元．(I)分析：根据问题中的数量关系．用含x的式子填表：(Ⅱ)(由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解)【答案】解：（Ⅰ）35502xx，（Ⅱ）根据题意，每天的销售额(35)(502)(035)yxxx，配方，得22(5)1800yx，∴当x=5时，y取得最大值1800．答：当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为l800元。2.（2011山东滨州）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC。点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4O米，点B到水平面距离为2米，OC=8米。（1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（2）为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）（3）为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？（请写出求解过程）【答案】解：（1）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系设抛物线的函数解析式为2yax,由题意知点A的坐标为（4，8）。且点A在抛物线上，所以8=a×24，解得a=12,故所求抛物线的函数解析式为212yx（2）找法：延长AC,交建筑物造型所在抛物线于点D,则点A、D关于OC对称。连接BD交OC于点P，则点P即为所求。（3）由题意知点B的横坐标为2，且点B在抛物线上，所以点B的坐标为（2，2）又知点A的坐标为（4，8），所以点D的坐标为（-4，8）设直线BD的函数解析式为y=kx+b，则有2248kbkb解得k=-1,b=4.故直线BD的函数解析式为y=-x+4，把x=0代入y=-x+4，得点P的坐标为（0，4）两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米。3.（2011湖北武汉市）星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．（1）若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出x的取值范围．【答案】解：（1）y=30－2x(6≤x＜15)（2）设矩形苗圃园的面积为S则S=xy=x(30－2x)=－2x2＋30x∴S=－2(x－7.5)2＋112.5由（1）知，6≤x＜15∴当x=7.5时,S最大值＝112.5即当矩形苗圃园垂直于墙的边长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为112.5（3）6≤x≤114.（2011湖北黄冈）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润216041100Px（万元）．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润299294101001601005Qxx（万元）⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？⑵若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？【答案】解：⑴当x=60时，P最大且为41，故五年获利最大值是41×5=205万元．⑵前两年：0≤x≤50，此时因为P随x增大而增大，所以x=50时，P值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2=80万元．后三年：设每年获利为y，设当地投资额为x,则外地投资额为100－x，所以y=P＋Q=216041100x[phone]xx=260165xx=2301065x，表明x=30时，y最大且为1065，那么三年获利最大为1065×3=3495万元，故五年获利最大值为80＋3495－50×2=3475万元．⑶有极大的实施价值．5.（2011贵州贵阳）用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图123中的一种）．设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行）（1）在图1中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？（4分）（2）在图2中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？（4分）（3）在图3中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？123（第5题图）【答案】解：（1）当不锈钢材料总长度为12米，共有3条竖档时，BC==4-x，∴x（4-x）=3．解得，x=1或3．（2）当不锈钢材料总长度为12米，共有4条竖档时，BC=，矩形框架ABCD的面积S=x·=-x2+4x．当x=-=时，S=3．∴当x=时时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为3平方米．（3）当不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档时，BC=，矩形框架ABCD的面积S=x·=-x2+x．当x=-=时，S=∴当x=时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为平方米6.（2011广东株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线2(0)yaxa的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：（1）若测得22OAOB（如图1），求a的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标．．．；（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．【答案】解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，∵22OAOB，∠AOB=90°，∴AC=OC=BC=2，∴B(2，-2)，将B(2，-2)代入抛物线2(0)yaxa得，12a.（2）解法一：过点A作AE⊥x轴于点E，∵点B的横坐标为1，∴B(1，12)，∴12BF.又∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，又∠AEO=∠OFB=90°，∴△AEO∽△OFB，∴1212AEOFOEBF∴AE=2OE，设点A（m，212m）（m＞0），则OE=m，212AEm，∴2122mm∴m=4，即点A的横坐标为-4.解法二：过点A作AE⊥x轴于点E，∵点B的横坐标为1，∴B(1，12)，∴1tan212OFOBFBF∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，∴tantan2AEAOEOBFOE，∴AE=2OE，设点A（-m，212m）（m＞0），则OE=m，212AEm，∴2122mm∴m=4，即点A的横坐标为-4.解法三：过点A作AE⊥x轴于点E，∵点B的横坐标为1，∴B(1，12)，设A（-m，212m）（m＞0），则222151()24OB，22414OAmm，222211(1)()22ABmm，∵∠AOB=90°，∴222ABOAOB，∴2222221111(1)()(1)()2222mmmm，解得：m=4，即点A的横坐标为-4.（3）解法一：设A（m，212m）（m＞0），B（n，212n）（n＞0），设直线AB的解析式为：y=kx+b，则221(1)21(2)2mkbmnkbn，(1)×n+(2)×m得，2211()()()22mnbmnmnmnmn，∴12bmn又易知△AEO∽△OFB，∴AEOEOFBF，∴220.50.5mmnn，∴mn=4，∴1422b.由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，-2），（说明：写出定点C的坐标就给2分）解法二：设A（m，212m）（m＞0），B（n，212n）（n＞0），直线AB与y轴的交点为C，根据0AOBAOEBFAOCBOCABFESSSSSS梯形，可得2222111111111()()222222222nmmnmmnnOCmOCn，化简，得12OCmn.又易知△AEO∽△OFB，∴AEOEOFBF，∴220.50.5mmnn，∴mn=4，∴OC=2为固定值.故直线AB恒过其与y轴的交点C（0,-2）说明：mn的值也可以通过以下方法求得.由前可知，22414OAmm，22414OBnn，2222211()()22ABmnmn，由222OAOBAB，得：242422221111()()()()4422mmnnmnmn，化简，得mn=4.