18-高中数学选修系列2《抛物线的简单几何性质》教案1

精品教学网学科：数学教学内容：抛物线的简单几何性质【基础知识精讲】抛物线的几何性质、图形、标准方程列表如下：图形标准方程y2=2px(p＞0)y2=-2px(p＞0)x2=2py(p＞0)x2=-2py(p＞0)焦点坐标(2p,0)(-2p,0)(0,2p)(0，-2p)准线方程x=-2px=2py=-2py=2p范围x≥0x≤0y≥0y≤0对称轴x轴x轴y轴y轴顶点(0，0)(0，0)(0，0)(0，0)离心率e=1e=1e=1e=1焦半径｜PF｜=x0+2p｜PF｜=2p-x0｜PF｜=2p+y0｜PF｜=2p-y0参数p的几何意义参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.本节学习要求：1.抛物线方程的确定，先由几何性质确定抛物线的标准方程，再用待定系数法求其方程.2.解决有抛物线的弦中点问题及弦长问题与椭圆、双曲线一样，利用弦长公式、韦达定理、中点坐标公式及判别式解决.3.抛物线中有关轨迹与证明问题也与前面内容一样.常用方法有轨迹法、代入法、定义法.参数法等.证明的方法是解析法.通过学习本节内容，更进一步培养我们学习数学的兴趣，培养良好的思维品质.运用数形结合的思想方法解决问题，提高分析问题和解决的能力.【重点难点解析】1.抛物线的几何性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大，它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心.通常称抛物线为无心圆锥曲线，精品教学网而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.应熟练掌握抛物线的四种标准方程.本节重点是抛物线的简单几何性质，难点是几何性质的灵活应用.例1已知抛物线顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点(x0，-8)到焦点的距离等于17，求抛物线方程.分析设方程为y2=2px(p＞0)或y2=-2px(p＞0)则x0+2p=17或2p-x0=17即x0=17-2p或x0=2p-17将(17-2p，-8)代入y2=2px解得p=2或p=32将(2p-17，-8)代入y2=-2px解得p=2或p=32∴所求抛物线方程为y2=±4x或y2=±64x.例2求抛物线y2=4x中斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.分析本例可设平行弦的纵截距为参数、运用判别式及韦达定理、中点坐标公式来求，也可设点参数运用点差法求解.设AB是抛物线中斜率为2的平行弦中任一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)AB中点M(x,y)由2224421212121222121xxyyyyyxxxxyxy得：y=1代入y2=4x得x=41∴轨迹方程为y=1(x＞41)例3设点A和B为抛物线y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点.已知OA⊥OB，OM⊥AB于M，求点M的轨迹方程，并说明表示什么曲线.分析设A(4pt21,4pt1)，B(4pt22,4pt2)，OA、OB的斜率分别为kOA、kOB则kOA=11t,kOB=21t由OA⊥OB，得精品教学网·kOB=211tt=-1t1t2=-1①∵点A在AB上，得直线AB的方程为y-4pt1=211tt(x-4pt21)②由OM⊥AB，得直线OM方程为y=-(t1+t2)x③设点M(x,y),则x,y满足②③两式将②化为：y(t1+t2)=x+4pt1t2=x-4p④由③×④得：x2+y2-4px=0∵A、B是原点以外的两点∴x≠0∴点M的轨迹是以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆(去掉原点).【难题巧解点拨】例1已知抛物线y2=2px上两点A、B，BC⊥x轴交抛物线于C，AC交x轴于E，BA延长交x轴于D，求证：O为DE中点.分析只需证出D、E两点的横坐标互为相反数即可，设A(2pt21,2pt1)，B(2pt22,2pt2)则C(2pt22,-2pt2)AC：y-2pt1=211tt(x-2pt21)令y=0,得xD=2pt1t2BA：y-2pt1=211tt(x-2pt21)令y=0,得xE=-2pt1t2∴xD+xE=0即O为DE中点.例2设抛物线过定点A(0，2)且以x轴为准线.(Ⅰ)试求抛物线顶点M的轨迹C的方程；(Ⅱ)如果点P(a,1)不在线段y=1(-2≤x≤2)上，那么当a取何值时，过P点存在一对互相垂直的直线同时与曲线C各有两个交点?分析(Ⅰ)设抛物线顶点M(x,y)，y＞0，则其焦点为F(x,2y).据抛物线定义有22)22(yx=2即42x+(y-1)2=1(y≠0)∴抛物线顶点M的轨迹C的方程是精品教学网(y-1)2=1(y≠0)(Ⅱ)过P点的直线可设为l:y-1=k(x-a).由已知P(a,1)不在曲线C上，则4)1(41)(22yxaxky消去y，得x2+4k2(x-a)2=4即(1+4k2)x2-8k2ax+4(k2a2-1)=0∴△=16［k2(4-a2)+1］过点P存在一对互相垂直的直线同时与曲线C各有两个不同的交点的充要条件是关于斜率k的不等式组01)4(101)4(2222akak有解∵点P不在直线y=1(-2≤x≤2)上，∴｜a｜＞2，4-a2＜0.∴上不等式组可化为4,412222akak∴a2-4412a解a2＜5又｜a｜＞2,∴2＜｜a｜＜5即a∈(-5,-2)∪(2,5)【命题趋势分析】本节与椭圆、双曲线的相同内容相似，都是高考的重要内容.圆锥曲线的基础知识；直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、中点弦及弦的中点的轨迹问题；圆锥曲线中的有关最值问题等等.本章内容为高考压轴题的高频题.【典型热点考题】例1抛物线y=x2的弦AB保持与圆x2+y2=1相切移动，求过A、B的抛物线的切线交点的轨迹方程.分析一如图，设抛物线弦AB与圆x2+y2=1相切于P(x0,y0),则过P点的圆的切线方程为x0x+y0y=1.精品教学网由2001xyyyxx得y0x2+x0x-1=0设A的坐标为(x1,x21),B(x2,x22)，由韦达定理，得x1+x2=-00yx,x1·x2=-01y又过A、B两点的抛物线的切线方程分别为y+x12=2x1x,y+x22=2x2x，则两切线交点Q(x,y)是方程组xxxyxxxy22212122②①①-②得x21-x22=2(x1-x2)x.∴2x=x1+x2=-00yx③①×x2-②×x1得(x2-x1)y+x1x2(x1-x2)=0∴y=x1x2=-01y④由③、④得x0=yx2,y0=-y1∵P(x0,y0)在圆x2+y2=1上，∴(yx2)2+(-y1)2=1即y2-4x2=1,这是双曲线.由条件知，所求轨迹是焦点在y轴上，a=1、b=21的双曲线的下支的一部分.分析二设抛物线的弦AB与圆切于点P(x0,y0)，则过P点的圆的切线AB的方程为x0x+y0y=1①设过A、B两点的抛物线切线交点为Q(α，β)则AB为抛物线的切点弦，其方程为y+β=2αx②由①、②表示同一直线，于是有20x=10y=1∴x0=2y0=-1∵P(x0,y0)在圆x2+y2=1上，∴(2)2+(-1)2=1,精品教学网=1,故y2-4x2=1(x∈R,y＜0)例2某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用如图甲所示的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用如图乙所示的抛物线段表示.(1)写出如图甲所示市场售价与时间的函数关系式P＝f(t)；写出如图乙所示种植成本与时间的函数关系式Q＝g(t).(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)解：(1)f(t)＝.300200,3002,2000,300ttttg(t)＝2001(t-150)2+100,0≤t≤300.(2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)＝f(t)-g(t),即h(t)＝.300200,21025272001,2000,217521200122tttttt当0≤t≤200时，配方整理得h(t)＝-2001(t-50)2+100,所以，当t＝50时，h(t)取得区间［0，200］上的最大值100；当200t≤300时，配方整理得h(t)＝-2001(t-350)2+100所以，当t＝300时，h(t)取得区间(200，300］上的最大值87.5.综上，由10087.5可知，h(t)在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t＝50，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.【同步达纲练习】精品教学网级一、选择题1.若A是定直线l外的一定点，则过A且与l相切圆的圆心轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线一支D.抛物线2.抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是()A.2.5B.5C.7.5D.103.已知原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x-4y+11=0上，则此抛物线的方程是()A.y2=11xB.y2=-11xC.y2=22xD.y2=-22x4.过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点且垂直于x轴的弦AB，O为抛物线顶点，则∠AOB()A.小于90°B.等于90°C.大于90°D.不能确定5.以抛物线y2=2px(p＞0)的焦半径｜PF｜为直径的圆与y轴位置关系为()A.相交B.相离C.相切D.不确定二、填空题6.圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是.7.若以曲线252x+162y=1的中心为顶点，左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于A、B两点，则｜AB｜=.8.若顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x+1所得的弦长为15，则此抛物线的方程是.三、解答题9.抛物线x2=4y的焦点为F，过点(0，-1)作直线l交抛物线A、B两点，再以AF、BF为邻边作平行四边形FABR，试求动点R的轨迹方程.10.是否存在正方形ABCD，它的对角线AC在直线x+y-2=0上，顶点B、D在抛物线y2=4x上?若存在，试求出正方形的边长；若不存在，试说明理由.AA级一、选择题1.经过抛物线y2=2px(p＞0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为()A.pB.2pC.4pD.不确定2.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点，若AB的中点横坐标为2，则｜AB｜为()A.15B.415C.215D.423.曲线2x2-5xy+2y2=1()A.关于x轴对称精品教学网关于原点对称，但不关于y=x对称D.关于直线y=x对称也关于直线y=-x对称4.若抛物线y2=2px(p＞0)的弦PQ的中点为(x0,y0)(y≠0)，则弦PQ的斜率为()A.-0xpB.0ypC.px-D.-px05.已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则2121xxyy的值一定等于()A.4B.-4C.p2D.-p2二、填空题6.抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为43，则焦点到AB的距离为.7.以椭圆52x+y2=1的右焦点F为焦点，以原点为顶点作抛物线，抛物线与椭圆的一个公共点是A，则｜AF｜=.8.若△OAB为正三角形，O为坐标原点，A、B两点在抛物线y2=2px上，则△OAB的周长为.三、解答题9.抛物线y=-22x与过点M(0，-1)的直线l相交于A、B两点，O为坐标原点，若直线OA和OB斜率之和为1，求直线l的方程.10.已知半圆的直径为2r，AB为直径，半圆外的直线l与BA的延长线垂直，垂足为T，且｜TA｜=2a(2a＜2r),半圆上有M、N两点，它们与直线l的距离｜MP｜、｜