1977年北京市高考数学试卷(文科)一、解答题(共10小题,满分100分)1.(10分)(1977•北京)计算:.2.(10分)(1977•北京)化简:.3.(10分)(1977•北京)解方程:.4.(10分)(1977•北京)不查表求sin105°的值.5.(10分)(1977•北京)一个正三棱柱形的零件,它的高是10cm,底面边长是2cm,求它的体积.6.(10分)(1977•北京)一条直线过点(1,﹣3),并且与直线2x+y﹣5=0平行,求这条直线的方程.7.(10分)(1977•北京)证明:等腰三角形两腰上的高相等.8.(10分)(1977•北京)为了测湖岸边A、B两点的距离,选择一点C,测得CA=50米,CB=30米,∠ACB=120°,求AB.9.(10分)(1977•北京)在2和30中间插入两个正数,这两个正数插入后使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,求插入的两个正数?10.(10分)(1977•北京)已知二次函数y=x2﹣6x+5.(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程;(2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标.1977年北京市高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、解答题(共10小题,满分100分)1.(10分)(1977•北京)计算:.考点:根式与分数指数幂的互化及其化简运算.专题:计算题.分析:由分数指数幂的运算法则,把原式转化为1+﹣,由此能求出的值.解答:解:原式=1+﹣=1+=0.点评:本题考查分数指数幂的运算法则,解题时要认真审题,仔细求解.2.(10分)(1977•北京)化简:.考点:方根与根式及根式的化简运算.分析:分子分母同乘以,整理可得.解答:解:原式=.点评:本题考查分母或分子有理化.3.(10分)(1977•北京)解方程:.考点:函数与方程的综合运用.专题:计算题.分析:先对等式两边同乘x2﹣1进行化简,然后解方程即可.解答:解:根据题意可知x≠1等式两边同乘x2﹣1得,x+1+x2﹣1=4x﹣2化简得x2﹣3x+2=0,解得x=2.∴原方程的解为x=2.点评:本题主要考查了函数与方程的综合运用,以及解方程等知识,属于基础题.4.(10分)(1977•北京)不查表求sin105°的值.考点:两角和与差的正弦函数.专题:综合题.分析:把105°变为180°﹣75°,然后利用诱导公式化简,把75°变为30°+45°,利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到值.解答:解:sin105°=sin(180°﹣75°)=sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=×+×=点评:此题考查学生灵活运用诱导公式、两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值,是一道基础题.5.(10分)(1977•北京)一个正三棱柱形的零件,它的高是10cm,底面边长是2cm,求它的体积.考点:棱柱、棱锥、棱台的体积.专题:计算题.分析:因为正三棱柱形的底面积由正弦定理的推论可求得,为S=•2•2•sin60°,已知高h=10,由体积公式即可求得.解答:解:正三棱柱形的底面积为S=•2•2•sin60°,高h=10,由柱体的体积公式得,体积V=sh=•2•2•sin60°•10==(cm3).点评:本题考查了柱体的体积公式的应用.是简单的计算题.6.(10分)(1977•北京)一条直线过点(1,﹣3),并且与直线2x+y﹣5=0平行,求这条直线的方程.考点:直线的一般式方程与直线的平行关系.专题:计算题.分析:先求与直线2x+y﹣5=0平行的直线的斜率,再根据其过点(1,﹣3),用点斜式求直线方程.解答:解:∵直线2x+y﹣5=0的斜率k=﹣2,∴所求直线斜率k′=﹣2.故过点(1,﹣3)且与已知直线平行的直线为y+3=﹣2(x﹣1),即2x+y+1=0.点评:本题考查直线的平行关系,直线的点斜式方程,是基础题.7.(10分)(1977•北京)证明:等腰三角形两腰上的高相等.考点:三角形中的几何计算.专题:证明题.分析:由题意画出图形,利用等腰三角形的定和条件找到三角形全等即可求证.解答:zm:如图,在△BDC与△CEB中,∵∠DBC=∠ECB,∠BDC=∠CEB=90°,BC=BC,∴△BDC≌△CEB,CD=BE.点评:此题考查了等腰三角形的定义,三角形全等的判定定理及性质定理.8.(10分)(1977•北京)为了测湖岸边A、B两点的距离,选择一点C,测得CA=50米,CB=30米,∠ACB=120°,求AB.考点:余弦定理;解三角形的实际应用.专题:计算题.分析:利用余弦定理把CA=50米,CB=30米,∠ACB=120°代入即可求得答案.解答:解:由余弦定理可得AB=AC2+BC2﹣2AC•BC•cos,∠ACB=70米.点评:本题主要考查了余弦定理的应用.属基础题.9.(10分)(1977•北京)在2和30中间插入两个正数,这两个正数插入后使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,求插入的两个正数?考点:等比数列的性质;等差数列的性质.专题:计算题.分析:依题意设出此数列,进而根据等比中项的性质和等差中项的性质联立方程组求得x和y,则插入的两个数可求.解答:解:设此数列为2,x,y,30.于是有解得x=6,y=18.故插入的两个正数为6,18,因此,所成的数列为2、6、18、30.点评:本题主要考查等比数列的性质.考查了考生分析问题和解决问题的能力.10.(10分)(1977•北京)已知二次函数y=x2﹣6x+5.(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程;(2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标.考点:二次函数的图象.专题:作图题;综合题.分析:(1)根据二次函数的顶点坐标公式和对称轴公式分别求出即可;(2)根据列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可;(3)令x=0求出对应的y值,写出坐标为与函数图象y轴的交点,令y=0求出对应的x值,写出坐标为函数图象与x轴的交点.解答:解:(1)∵a=1,b=﹣6,c=5∴﹣=﹣=3,==﹣1∴顶点坐标为(3,﹣1),对称轴为直线x=3.(2)如图列表(描点略)(3)图象与x轴相交,y=0即x2﹣6x+5=0解得x1=1,x2=5,所以与x轴交点的坐标为(1,0)(5,0);图象与y轴相交,x=0解得y=5,所以与y轴交点的坐标为(0,5).点评:考查学生掌握二次函数的顶点和对称轴公式,会利用描点法画函数的图象,会求函数图象与坐标轴的交点坐标.