1977年福建省高考数学试卷(理科)

1977年福建省高考数学试卷（理科）一、解答题（共21小题，满分120分）1．（6分）（1977•福建）计算．2．（6分）（1977•福建）的值是正的还是负的？为什么？3．（6分）求函数的定义域．4．（6分）（1977•福建）如图，在梯形ABCD中，DM=MP=PA，MN∥PQ∥AB，DC=2cm，AB=3.5cm求MN和PQ的长．5．（6分）（1977•福建）已知lg3=0.4771，lgx=﹣3.5229，求x．6．（6分）（1977•福建）求的极限．7．（6分）（1977•福建）解方程．8．（6分）（1977•福建）．9．（6分）（1977•福建）求函数y=2﹣5x﹣3x2的极值．10．（6分）（1977•福建）画出下面V形铁块的三视图（只要画草图）11．（6分）（1977•福建）解不等式．12．（6分）（1977•福建）证明：13．（6分）（1977•福建）某中学革命师生自己动手油漆一个直径为1.2米的地球仪，如果每平方米面积需要油漆150克，问共需油漆多少克？（答案保留整数）14．（6分）（1977•福建）某农机厂开展“工业学大庆”运动，在十月份生产拖拉机1000台．这样，一月至十月的产量恰好完成全年生产任务．工人同志为了加速农业机械化，计划在年底前再生产2310台．正好比原计划增产21%．①求十一月、十二月份每月增长率；②原计划年产拖拉机多少台？15．（6分）（1977•福建）在半径为R的圆内接正六边形内，依次连接各边的中点，得一正六边形，又在这一正六边形内，再依次连接各边的中点，又得一正六边形，这样无限地继续下去，求：（1）前n个正六边形的周长之和Sn；（2）所有这些正六边形的周长之和S．16．（6分）（1977•福建）动点P（x，y）到两定点A（﹣3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即），求动点P的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形．17．（8分）（1977•福建）某大队在农田基本建设的规划中，要测定被障碍物隔开的两点A和P之间的距离，他们土法上马，在障碍物的两侧，选取两点B和C（如图），测得AB=AC=50m，∠BAC=60°，∠ABP=120°，∠ACP=135°，求A和P之间的距离（答案可用最简根式表示）．18．（8分）（1977•福建）已知双曲线=1（α为锐角）和圆（x﹣m）2+y2=r2相切于点A（4，4），求α，m，r的值．19．（8分）（1977•福建）设数列1，2，4，…前n项和是Sn=a+bn+cn2+dn3，求这数列的通项an的公式，并确定a，b，c，d的值．20．（1977•福建）求函数的导数．21．（1977•福建）求定积分∫10（x+x2e2）dx．1977年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共21小题，满分120分）1．（6分）（1977•福建）计算．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：先依据有理指数幂的运算性质化简小括号里的结果，再计算中括号里的结果，从而得到最后的结果．解答：解：原式=5﹣3×[+1031×0]÷1=5﹣3×=5﹣3×（﹣）=7．点评：本题考查有理指数幂的运算性质．2．（6分）（1977•福建）的值是正的还是负的？为什么？考点：三角函数值的符号．专题：证明题．分析：y的符号由分子符号和分母的符号来共同确定，利用余弦函数值在（90°，180°）上是减函数，得到分子cos160°﹣cos170°＞0，再由分母tan155°＜0，可得y的值为负的．解答：解：y的值为负的．因为tan155°＜0，又余弦函数值在（90°，180°）上随着角的增大而减小，所以，cos160°﹣cos170°＞0，故y＜0．点评：本题考查三角函数在各个象限中的符号，以及余弦函数在（90°，180°）上的单调性．3．（6分）求函数的定义域．考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：使函数的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根式被开放数非负．解答：解：由题意知：x﹣1＞0且2﹣x＞0解得1＜x＜2．故函数定义域为（1，2）．点评：本题求将对数、根式、分式复合在一起的综合型函数的定义域，注意取交集．4．（6分）（1977•福建）如图，在梯形ABCD中，DM=MP=PA，MN∥PQ∥AB，DC=2cm，AB=3.5cm求MN和PQ的长．考点：平行线分线段成比例定理．专题：计算题．分析：根据梯形的中位线定理，写出两个关于PQ，MN的二元一次方程组，利用代入消元法，消去MN，先解出PQ的长，代入两个方程中的任意一个，求出MN的长．解答：解：根据梯形中位线性质可得：把前一个式子两边同除以2，代入第二个式子，得到关于PQ的一元一次方程，可得PQ=3（cm），MN=2.5（cm）．点评：本题考查梯形的中位线定理，两个梯形分别用梯形的中位线，得到方程组，解题过程中要用到方程思想，本题是一个基础题，若出现一定是一个送分题目．5．（6分）（1977•福建）已知lg3=0.4771，lgx=﹣3.5229，求x．考点：对数函数的定义；对数的运算性质．专题：计算题．分析：由题意知lg3﹣lgx=0.4771+3.5229=4，再由对数的运算性质和定义求出x．解答：解：由题意得，lg3﹣lgx=0.4771+3.5229=4∴lg=4，∴=10000∴x=0.0003．点评：本题考查了对数的运算性质和定义，注意观察两个对数值特点，运用了转化思想合为一个对数6．（6分）（1977•福建）求的极限．考点：极限及其运算．分析：通过因式分解消除零因子后，把简化为，由此可求出的极限．解答：解：=．点评：本题考查型极限的求法，解题的关键是消除零因子．7．（6分）（1977•福建）解方程．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：式子中含有根式，故可移项，平方，注意到4x+1＞0，将增根去掉即可．解答：解：移项得两边平方，得4x+1=4x2﹣4x+1，x（x﹣2）=0，∴x=2，x=0（增根）故原方程的解为x=2．点评：本题考查无理方程的求解，同时考查等价转化思想的应用．8．（6分）（1977•福建）．考点：有理数指数幂的化简求值．分析：利用有理指数幂的运算性质，通过提取公因式，来进行化简求值．解答：解：原式=．点评：因式分解可能是学生不容易操作的环节．9．（6分）（1977•福建）求函数y=2﹣5x﹣3x2的极值．考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：先求导数，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值即可．解答：解：y′=﹣5﹣6x解得x=﹣当x∈（﹣∞，﹣）时，y′＞0当x∈（﹣，+∞）时，y′＜0∴当x=﹣时，y取极大值，y的极大值为．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，极值问题在高考中是热点问题，属于基础题．10．（6分）（1977•福建）画出下面V形铁块的三视图（只要画草图）考点：简单空间图形的三视图．专题：作图题．分析：空间想象V形铁块，画出即可．解答：点评：本题考查学生的空间想象能力，是基础题．11．（6分）（1977•福建）解不等式．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；转化思想．分析：由于x2+2x+2＞0，原不等式简化为x2﹣x﹣6＜0求解即可．解答：解：由于x2+2x+2＞0，原不等式简化为x2﹣x﹣6＜0解得：﹣2＜x＜3．所以不等式的解集：{x|﹣2＜x＜3}点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查等价转化思想，是基础题．12．（6分）（1977•福建）证明：考点：三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：先根据正弦函数的二倍角公式进行化简，再由诱导公式将正弦转化为余弦函数，最后根据万能公式可得证．解答：证：左边=====右边．点评：本题主要考查三角函数的二倍角公式、诱导公式的应用．考查公式的记忆情况．13．（6分）（1977•福建）某中学革命师生自己动手油漆一个直径为1.2米的地球仪，如果每平方米面积需要油漆150克，问共需油漆多少克？（答案保留整数）考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：本题可以直接利用题目的条件求解．解答：解：设地球仪的表面积为S，则所以，共需油漆150×1.44π=216π≈678（克）．点评：本题考查学生对公式的使用，是基础题．14．（6分）（1977•福建）某农机厂开展“工业学大庆”运动，在十月份生产拖拉机1000台．这样，一月至十月的产量恰好完成全年生产任务．工人同志为了加速农业机械化，计划在年底前再生产2310台．正好比原计划增产21%．①求十一月、十二月份每月增长率；②原计划年产拖拉机多少台？考点：一元二次不等式的应用．专题：应用题．分析：（1）要求十一月、十二月份每月增长率，我们可以使用待定系数法，即设出增长率为x，然后根据计划在年底前再生产2310台，我们可以构造一个关于x的方程，解方程即可求出x的值．（2）由增长率和增产量，我们可以根据：原计划生产量×增长率=增长量，求出原计划年产拖拉机的台数．解答：解：①设十一、十二月份平均每月增长率为x，则根据题意可得：1000（1+x）+1000（1+x）2=2310，100x2+300x﹣31=0，x=0.1，x=﹣3.1（舍去）故十一月，十二月份平均每月增长率为10%；②设原计划年生产拖拉机y台，则y=2310÷21%=11000（台）．点评：这是一道方程的应用题，方程应用题一般需要如下步骤：①分析题意，从题目中分析已知量与量之间的关系，找出等量关系；②设出合适的未知数，建立方程③解方程求出未知数的值④将值所代表的实际意义，将未知数的值还原到实际问题中．15．（6分）（1977•福建）在半径为R的圆内接正六边形内，依次连接各边的中点，得一正六边形，又在这一正六边形内，再依次连接各边的中点，又得一正六边形，这样无限地继续下去，求：（1）前n个正六边形的周长之和Sn；（2）所有这些正六边形的周长之和S．考点：数列的应用．专题：计算题．分析：由题设条件知表示正六边形周长的数列：6R，，，，由此能够求出前n个正六边形周长的和与所有这些正六边形周长的和．解答：解：如图，半径为R的圆内接正六边形的周长为6R，设C为AB的中点，连接OC，OB，则OC⊥AB．∴OC=CD=第二个正六边形的周长=同理可得第三个正六边形的周长=，第四个正六边形的周长=，于是可以得到一个表示正六边形周长的数列：6R，，，，①前n个正六边形周长的和==②所有这些正六边形周长的和点评：本题考查数列的性质和运用，解题时要注意归纳、总结能力的培养．16．（6分）（1977•福建）动点P（x，y）到两定点A（﹣3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即），求动点P的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形．考点：轨迹方程．专题：计算题．分析：欲求动点P的轨迹方程，因点P（x，y），只须求出其坐标x，y的关系式即可，由题意知得到一个关系式，化简即得点P的轨迹方程，最后对所求方程进行配方变形来判断轨迹的图形即可．解答：解：根据两点间的距离公式可得两边平方，得（x+3）2+y2=4[（x﹣3）2+y2]化简得，x2﹣10x+y2+9=0，（x﹣5）2+y2=16故动点P的轨迹是以点（5，0）为圆心，以4为半径的圆．点评：本小题主要考查曲线与方程，圆的方程等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和运用数学知识解决问题的能力．17．（8分）（1977•福建）某大队在农田基本建设的规划中，要测定被障碍物隔开的两点A和P之间的距离，他们土法上马，在障碍物的两侧，选取两点B和C（如图），测得AB=AC=50m，∠BAC=60°，∠ABP=120°，∠ACP=135°，求A和P之间的距离（答案可用最简根式表示）．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：连CB，AP根据∠CAB=60°和AC=AB判定△ABC为等边三角形．进而可求得∠BCP，∠CBP和∠BPC，再通过正弦定理进而可求得CP，再在△APC中用余弦定理求得AP．解答：解：连CB，AP．∵∠CAB=60°，AC=AB=50m，∴△ABC为等边三角形．于是，∠BCP=135°﹣60°=75°