1978年全国高考数学试题及其解析

11978年全国高考数学试题及其解析注意事项:1.理工科考生要求除作（一）——（四）题和（七）题外,再由（五）、（六）两题中选作一题.文科考生要求作（一）——（四）题,再由（五）、（六）两题中选作一题;不要求作第（七）题.2.考生解题作答时,不必抄题.但须准确地写明题号,例如（一）2、（五）等.（一）1.分解因式:x2-4xy+4y2-4z2.2.已知正方形的边长为a.求侧面积等于这个正方形的面积、高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积.（二）已知方程kx2+y2=4,其中k为实数.对于不同范围的k值,分别指出方程所代表图形的类型,并画出显示其数量特征的草图.（三）（如图）AB是半圆的直径,C是半圆上一点,直线MN切半圆于C点,AM⊥MN于M点,BN⊥MN于N点,CD⊥AB于D点.求证:1)CD=CM=CN;2)CD2=AM·BN.（四）已知log189=a(a≠2),18b=5.求log3645.（五）（本题和第（六）题选作一题）已知△ABC的三内角的大小成（六）已知α、β为锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0.（七）（文科考生不要求作此题）2已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1（m为实数）.(1)m是什么数值时,y的极值是0?(2)求证:不论m是什么数值,函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线l1上.画出m=-1、0、1时抛物线的草图,来检验这个结论.(3)平行于l1的直线中,哪些与抛物线相交,哪些不相交?求证:任一条平行于l1而与抛物线相交的直线,被各抛物线截出的线段都相等.试题答案及解析（一）1.解:原式=(x2-4xy+4y2)-4z2=(x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z).2.解:设直圆柱体的底面半径为r.则底面周长2πr=a.3.解:∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.x≥-1为所求的定义域.3（二）解:（注意:只要求考生作出全面而正确的分析,不要求写法和本题解完全一致.）（三）证明:1)连CA、CB,则∠ACB=90°.∠ACM=∠ABC（弦切角等于同弧上的圆周角）,∠ACD=∠ABC（同角的余角相等）,∴∠ACM=∠ACD.∴△ACM≌△ADC.∴CM=CD.同理CN=CD.∴CD=CM=CN.2)∵CD⊥AB,∠ACB=90°,∴CD2=AD·DB（比例中项定理）.由1),可知AM=AD,BN=BD,∴CD2=AM·BN.（四）解法一:∵log189=a,∴18a=9.4又18b=5,∴45=9×5=18a·18b=18a+b,设log3645=x,则36x=45=18a+b,∴log1836x=log1818a+b但36=2×18=4×9,∴log18(2×18)=log18(22×9).即1+log182=2log182+log189=2log182+a.∴log182=1-a.以下解法同解法一.（五）解:A+B+C=180°,又2B=A+C.∴3B=180°,B=60°,A+C=120°.5以下同证法一.（七）解:(1)用配方法得6此即各抛物线顶点坐标所满足的方程.它的图形是一条直线,方程中不当m=-1、0、1时,x,y之间的函数关系为分别作出它们的图象P1、P2、P3.它们的顶点都在直线l1上.(3)设l:x-y=a为任一条平行于l1的直线.与抛物线y=x2+(2m-1)x+m2-1方程联立求解.消去y,得x2+2mx+m2-1+a=0.∴(x+m)2=1-a.因而当1-a≥0即a≤1时,直线l与抛物线相交,而1-a0即a1时,直线l与抛物线不相交.即直线l与抛物线两交点横坐标为因直线l的斜率为1,它的倾斜角为45°.∵直线l被抛物线截出的线段等于而这与m无关.因此直线l被各抛物线截出的线段都相等.