1979高考数学真题答案

71979年高考数学试题一．（本题满分6分）证：(z-x)2-4(x-y)(y-z)=（x+z)2-2·2y(z+x)+4y2=(z+x-2y)2=0∴2y=x+z,所以，x,y,z成等差数列。二．（本题满分6分）xxxxtgxctg22222cscsin1csc111111111111:原式解三．（本题满分6分）四．（本题满6分）证：略。五．（本题满10分）解：作PC⊥AB于C，设PC=d，在直角三角形PAC中，AC=d·ctgα在直角三角形PC中，BC=d·ctgβ∴S=AC+BC=d（ctgα+ctgβ）。当d≤D，即ctgα+ctgβ≥DS时，应向外国船发出警告。六．（本题满分10分）PαβACB纯酒精与水之比为混合后公斤甲乙共含水公斤甲乙共含纯酒精公斤含水公斤乙中含纯酒精公斤含水公斤甲中含纯酒精解,))(()()())(()()()(),(),(),(:22111122221122221111221111222211222211112222222211111111nmnmnmvnnmvnnmvnnmvnnmnmnmvmnmvmnmvmnmvmnmvnnmvmnmvnnmvm)]()([:)]()([1122221111222211nmvnnmvnnmvmnmvm8证一：设VA=a，VB=b，VC=c，AB=p，BC=q，CA=r。于是p2=a2+b2,q2=b2+c2,r2=c2+a2。由余弦定理：同理，∠ABC，∠BCA也是锐角。证二：作VD⊥BC，D为垂足。因VA垂直于平面VAC，所以VA⊥BC又BC⊥VD，所以BC垂直于平面VAD，从而BC⊥AD及在△ABC中，A在BC边上的垂足D介于B和C之间。因此，∠B和∠C都是锐角，同理可证∠A也是锐角。七．（本题满分12分）解：年增长率x应满足100（1+X)40=500,即（1+X)40=5.取自然对数有40ln(1+x)=ln5.又lg5=1-0.3=0.7ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61利用ln(1+x)≈x,则有x≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4%答：每年约增长百分之四。八．（本题满分12分）证：连接CD。因∠CFD=900，所以CD为圆O的直径，又AB切圆O于D，∴CD⊥AB。又在直角三角形ABC中，∠ACB=900，∴AC2=AD·AB，BC2=BD·BA。(1).22ACBCADBD又因BD2=BC·BF，AD2=AC·AE。(2)22AEACBFBCADBD由（1）与（2）得3344ACBCAEBFACBCAEACBFBCVCABCEFABD.02)(cos222222222222222为锐角CABacbaaacbacbacbaCAB9九．（本题满分14分）解：该数列的第k项为：2lg)1(212)4sin100lg(1kank所以这个数列是递减等差数列，且其首项为2。要使前k项的和最大，必须前k项都是正数或0，而从第k+1项起以后都是负数。因此，k应适合下列条件：.30.143010.02912814214,1414,2.13)2(2.14)1(:(2),02lg]1)1[(212(1),02lg)1(212141aaSkkNkkkkk项的和前取又得由得由解此不等式组10十．（本题满分18分）YADPEαOθhXFBxtgyxyyyxhyxyxxhyxPFPEPDOAAAhEAEhEOOAEAAhhhyhxhyxhxhyhxxxhyxPEPFPDyxOPOPPFyxOPOPPDyxOPXOP51,sincos5cos4cossin)2(),1()2cosh(0,(h,0)(2).cos2cossincossin.2.,,.cossin.cos.:.cossin,)0,cos()cossin()cos(0coscos20cos0cos2cos(1),)(cossincossin)sincoscos(sin)sin(cossin)sincoscos(sin)sin(.22222222222222222222222222222222222222得由点点及此直线通过即得由条件的切线是而且圆在是圆上一点的半径是圆是圆的中心则作直线在注意等腰三角形内的一部分所求轨迹是此圆在所给为半径的圆以为中心这是以即得除以即得由条件，则轴的的夹角为与正设：11)sin25,sin255(sin25sin25551sin255sin521)sin521()2(.,0htghPhtgtghyhhxhxyPFPEPD的坐标为所求点得代入所以这里右端取正号可知由