1980高考数学试卷理科

1980年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一．（本题满分6分）将多项式x5y-9xy5分别在下列范围内分解因式：1．有理数范围;2.实数范围;3.复数范围奎屯王新敞新疆解：1.x5y-9xy5=xy(x2+3y2)(x2-3y2).2.x5y-9xy5=xy(x2+3y2)(x+3y)(x-3y).3.x5y-9xy5=xy(x+3yi)(x-3yi)(x+3y)(x-3y).二．（本题满6分）半径为1、2、3的三个圆两两外切奎屯王新敞新疆证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形奎屯王新敞新疆证：设⊙O1⊙O2⊙O3的半径为1、2、3奎屯王新敞新疆因这三个圆两两外切，故有O1O2=1+2=3，O2O3=2+3=5，O1O3=1+3=4，则有O1O22+O1O32=32+42=52=O2O32奎屯王新敞新疆根据勾股定理的逆定理，△O1O2O3为直角三角形奎屯王新敞新疆三．（本题满分10分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点奎屯王新敞新疆O33312O1O212证：取△ABC最长一边BC所在的直线为X轴，经过A的高线为Y轴，设A、B、C的坐标分别为A（0，a）、B（b，0）、C（c，0），根据所选坐标系，如图，有a0,b0,c0AB的方程为1aybx，其斜率为abAC的方程为1aycx，其斜率为ca高线CE的方程为(1))(cxaby高线BD的方程为(2))(bxacy解（1）、（2），得：（b-c)x=0∵b-c≠0∴x=0即高线CE、BD的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO上奎屯王新敞新疆因此，三条高线交于一点奎屯王新敞新疆四．（本题满分10分）证明对数换底公式：)1,1,(logloglog``baNbabNNaab都是正数解：见课本奎屯王新敞新疆五．（本题满分10分）直升飞机上一点P在地面M上的正射影是A，从P看地面上一物体B（不同于A）奎屯王新敞新疆直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N（如图）奎屯王新敞新疆证明：平面N必与平面M相交，且交线垂直于AB奎屯王新敞新疆YA(0,a)EDB(b,0)OC(c,0)X证：用反证法奎屯王新敞新疆假如平面N与平面M平行，则PA也垂直于N，因此PA与PB重合，B点与A点重合，但这与题设矛盾，所以平面N与平面M相交奎屯王新敞新疆设平面N与平面M的交线为L奎屯王新敞新疆∵PA⊥平面M，∴PA⊥L奎屯王新敞新疆又∵PB⊥平面N，∴PB⊥L奎屯王新敞新疆∴L⊥平面PAB，∴L⊥AB奎屯王新敞新疆六．（本题满分12分）设三角函数),35ksin()x(f其中k≠0奎屯王新敞新疆1．写出f(x)极大值M、极小值m与最小正周期;2．试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m奎屯王新敞新疆解：1.M=1，m=-1，.1025kkT2.f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m奎屯王新敞新疆而任意两个整数间的距离都≥1奎屯王新敞新疆因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m，必须且只须使f(x)的周期≤1奎屯王新敞新疆即：.4.3110,110kk可见，k=32就是这样的最小正整数奎屯王新敞新疆七．（本题满分14分）PNMBALCD为直角三角形ABC中斜边AB上的高，已知△ACD、△CBD、△ABC的面积成等比数列，求∠B（用反三角函数表示）奎屯王新敞新疆解：设CD=h，AB=c，BD=x，则AD=c-x奎屯王新敞新疆因此，△ACD的面积为)(21xch，△CBD的面积为hx21，△ABC的面积为hc21，依题意，22222111()(),222(),0,4.2hxhcxhcxccxxcxccccx即即∵取负号不合题意，∴取正号，得.215cx又依直角三角形的性质，有AC2=AD·AB=c(c-x).但x2=c(c-x)∴AC2=x2∴AC=x=DB=.215c在直角三角形ABC中，215215sinccABACB故.215arcsinB八．（本题满分14分）已知0＜α＜π，证明：;2sin2ctg并讨论α为何值时等号成立奎屯王新敞新疆CADB解：即证：.sincos12sin2两端乘以sinα，问题化为证明2sinαsin2α≤1+cosα.而2sinαsin2α=4sinαcos2α=4(1-cos2α)cosα=4(1-cosα)(1+cosα)cosα所以问题又化为证明不等式(1+cosα)[4(1-cosα)cosα-1]≤0奎屯王新敞新疆（1+cosα)221cos4≤0∴不等式得证奎屯王新敞新疆∵0＜α＜π,∴等号成立当且仅当cosα-21=0即α=600九．（本题满分18分）抛物线的方程是y2=2x，有一个半径为1的圆，圆心在x轴上运动奎屯王新敞新疆问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直奎屯王新敞新疆（注：设P（x0,y0)是抛物线y2=2px上一点，则抛物线在P点处的切线斜率是0yP）奎屯王新敞新疆解：设圆的方程为（x-k)2+y2=1奎屯王新敞新疆再设圆与抛物线的一个交点为P（x0,y0)在P点圆半径的斜率=kxy00.在P点抛物线的切线斜率=01y在P点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径Yy=2x2P(x0,y0)·K(K,0)OX与抛物线在P点相切奎屯王新敞新疆(1).1000kxyy因P（x0,y0)是圆与抛物线的交点，∴y02=2x0,(2)(x0-k)2+y02=1.(3)由（1）、（2）式消去y0,得x0=-k,将（2）代入（3），得(x0-k)2+2x0-1=0,将x0=-k代入，得4k2-2k-1=0，∴.451k由于抛物线在y轴的右方，所以k=-x0≤0奎屯王新敞新疆故根号前应取负号，即.451k故所求圆的方程为.1)451(22yx由对称性，圆与抛物线的另一交点（x0,-y0)处的切线也互相垂直奎屯王新敞新疆附加题（成绩不计入总分，只作参考）设直线（L）的参数方程是;,mtbytx（t是参数）椭圆（E）的参数方程是sin)0(,cos1yaax（θ是参数）问a、b应满足什么条件，使得对于任意m值来说，直线（L）与椭圆（E）总有公共点奎屯王新敞新疆解：消去参数，得（L）：;bmxy（E）：.1)1(222yax消去y，整理得01)1(2)1(2222222abaxmbaxma奎屯王新敞新疆（L）、（E）有交点的条件是上式的判别式≥0，即0)1)(1()1(2222222abamamba奎屯王新敞新疆化简并约去a2得.0)1(2)1(222bbmma对任意m的值，要使这个式子永远成立，条件是0,1||)2(||1||1,1||)1(.0,01)2(;0)1)(1(,01)1(2222222baaabaaabababa或解得或或（1）、（2）合写成：.||1||1,1||22aabaaa即所求的条件奎屯王新敞新疆（注：也可数形结合，由点P（0，b）在椭圆（E）内或（E）上求解奎屯王新敞新疆）