1990年全国高中数学联赛试题及解答

1990年全国高中数学联赛冯惠愚-1-1990年全国高中数学联赛第一试(10月14日上午8∶00—10∶00)一．选择题(本题满分30分，每小题5分)1．设α∈(4，2),则(cos)cos，(sin)cos，(cos)sin的大小顺序是A．(cos)cos(sin)cos(cos)sinB．(cos)cos(cos)sin(sin)cosC．(sin)cos(cos)cos(cos)sinD．(cos)sin(cos)cos(sin)cos2．设f(x)是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x)=x，则当x∈[－2,0]时，f(x)的解析式是()A．f(x)=x+4B．f(x)=2-xC．f(x)=3－|x+1|D．f(x)=2+|x+1|3．设双曲线的左右焦点是F1、F2，左右顶点是M、N，若△PF1F2的顶点P在双曲线上，则△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点位置是()A．在线段MN内部B．在线段F1M内部或在线段NF2内部C．点M或点ND．不能确定的4．点集{(x，y)|lg(x3+13错误!未指定书签。y3+19)=lgx+lgy}中元素个数为()A．0B．1C．2D．多于25．设非零复数x、y满足x2+xy+y2=0，则代数式xx+y1990+yx+y1990的值是()A．2－1989B．－1C．1D．以上答案都不对6．已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y|1的点的集合用阴影表示是下面图中的()(2,-1)Oxy(2,1)(2,1)(5，0)yxO(2,1)yxOD.C.B.A.Oxy(5，0)(2,1)(2,-1)二．填空题(本题满分30分，每小题5分)1．设n为自然数，a、b为正实数，且满足a+b=2，则11+an+11+bn的最小值是．2．设A(2，0)为平面上一定点，P(sin(2t－60°)，cos(2t－60°))为动点，则当t由15°变到45°时，线段AP扫过的面积是．3．设n为自然数，对于任意实数x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2≤n(x4+y4+z4)成立，则n的最小值是．4．对任意正整数n，连结原点O与点An(n，n+3)，用f(n)表示线段OAn上的整点个数(不计端点)，试求f(1)+f(2)+…+f(1990)．5．设n=1990，则1990年全国高中数学联赛冯惠愚-2-12n(1－3C2n+32C4n－33C6n+…+3994C1998n－3995C1990n=．6．8个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有种不同和排列方法．(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的)．三．(本题满分20分)已知a，b均为正整数，且ab，sinθ=2aba2+b2，(其中0θπ2)，An=(a2+b2)nsinnθ．求证：对于一切自然数n，An均为整数．四．n2个正数排成n行n列其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等．已知a24=1，a42=18，a43=316，求a11+a22+……+ann．五．设棱锥M—ABCD的底面为正方形，且MA=MD，MA⊥AB，如果△AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径．a11a12a13a14……a1na21a22a23a24……a2na31a32a33a34……a3na41a42a43a44……a4n……………………………………an1an2an3an4……annACBMD1990年全国高中数学联赛冯惠愚-3-第二试(10月14日上午10∶30—12∶30)一．(本题满分35分)四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1、O2、O3、O4．求证OP、O1O3、O2O4三直线共点．二．(本题满分35分)设E={1，2，3，……，200}，G={a1，a2，……，a100}E．且G具有下列两条性质：⑴对任何1≤ij≤100，恒有ai+aj≠201；⑵100Σi=1ai=10080．试证明：G中的奇数的个数是4的倍数．且G中所有数字的平方和为一个定数．三．(本题满分35分)某市有n所中学，第i所中学派出Ci名代表(1≤Ci≤39，1≤i≤n)来到体育馆观看球赛，全部学生总数为nΣi=1Ci=1990．看台上每一横排有199个座位，要求同一学校的学生必须坐在同一横排，问体育馆最少要安排多少横排才能够保证全部学生都能坐下．OOABCDP1OOO234F1990年全国高中数学联赛冯惠愚-4-1990年全国高中数学联赛(解答)第一试一．选择题(本题满分30分，每小题5分)1．设α∈(4，2),则(cos)cos，(sin)cos，(cos)sin的大小顺序是A．(cos)cos(sin)cos(cos)sinB．(cos)cos(cos)sin(sin)cosC．(sin)cos(cos)cos(cos)sinD．(cos)sin(cos)cos(sin)cos(1990年全国高中数学联赛)解：α∈(4，2)0cosαsinα1，∴(cos)cos(sin)cos；(cos)sin(cos)cos；选D．2．设f(x)是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x)=x，则当x∈[－2,0]时，f(x)的解析式是()A．f(x)=x+4B．f(x)=2-xC．f(x)=3－|x+1|D．f(x)=2+|x+1|解设x∈[－2,－1],则x+4∈[2,3],于是f(x+4)=x+4，但f(x)=f(x+4)=x+4(x∈[－2,－1])，又设x∈[－1,0)，则－x∈(0,1],故f(－x)=－x+2，由f(x)=f(－x)=－x+2(x∈[－1，0).f(x)=3－|x+1|=3－(－x－1)=x+4(x∈[－2，－1])，3－(x+1)=－x+2(x∈(－1，0))．故选C．3．设双曲线的左右焦点是F1、F2，左右顶点是M、N，若△PF1F2的顶点P在双曲线上，则△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点位置是()A．在线段MN内部B．在线段F1M内部或在线段NF2内部C．点M或点ND．不能确定的解：设内切圆在三边上切点分别为D、E、F，当P在右支上时，PF1－PF2=2a．但PF1－PF2=F1D－F2D=2a，即D与N重合，当P在左支上时，D与M重合．故选C．4．点集{(x，y)|lg(x3+13错误!未指定书签。y3+19)=lgx+lgy}中元素个数为()A．0B．1C．2D．多于2解：x3+13y3+19=xy0．但x3+13y3+19≥33x3·13y3·19=xy错误!未指定书签。，等号当且仅当x3=13y3=19时，即x=333，y=393时成立．故选B．5．设非零复数x、y满足x2+xy+y2=0，则代数式xx+y1990+yx+y1990的值是()A．2－1989B．－1C．1D．以上答案都不对解：xy=ω或ω2，其中ω=cos120°+isin120°．1+ω+ω2=0．且ω3=1．若xy=ω，则得(ω1+ω)1990+(1ω+1)1990=－1．若xy=ω2，则得(ω21+ω2)1990+(1ω2+1)1990=－1．选B．6．已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y|1的点的集合用阴影表示是下面图中的()EFDIMNF1F2POxy1990年全国高中数学联赛冯惠愚-5-(2,-1)Oxy(2,1)(2,1)(5，0)yxO(2,1)yxOD.C.B.A.Oxy(5，0)(2,1)(2,-1)解：4a2+1b2=1，由a2b2，故得1b214b2+1b2=5b2，1b5．4a2+1b2=15a21，a25．故选C．二．填空题(本题满分30分，每小题5分)1．设n为自然数，a、b为正实数，且满足a+b=2，则11+an+11+bn的最小值是．解：ab≤(a+b2)2=1，从而anbn≤1，故11+an+11+bn=1+an+1+bn1+an+bn+anbn≥1．等号当且仅当a=b=1时成立．即所求最小值=1．2．设A(2，0)为平面上一定点，P(sin(2t－60°)，cos(2t－60°))为动点，则当t由15°变到45°时，线段AP扫过的面积是．解：点P在单位圆上，sin(2t－60°)=cos(150°－2t)，cos(2t－60°)=sin(150°－2t).当t由15°变到45°时，点P沿单位圆从(－12，32)运动到(12,32)．线段AP扫过的面积=扇形面积=16π．3．设n为自然数，对于任意实数x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2≤n(x4+y4+z4)成立，则n的最小值是．解：(x2+y2+z2)2=x4+y4+z4+2x2y2+2y2z2+2z2x2≤x4+y4+z4+(x4+y4)+(y4+z4)+(z4+x4)=3(x4+y4+z4)．等号当且仅当x=y=z时成立．故n=3．4．对任意正整数n，连结原点O与点An(n，n+3)，用f(n)表示线段OAn上的整点个数(不计端点)，试求f(1)+f(2)+…+f(1990)．解线段OAn的方程为y=n+3nx(0≤x≤n)，故f(n)等于该线段内的格点数．若n=3k(k∈N+)，则得y=k+1kx(0≤x≤n)(k∈N*)，其内有两个整点(k，k+1)，(2k，2k+2)，此时f(n)=2；若n=3k±1(k∈N+)时，则由于n与n+3互质，故OAn内没有格点，此时f(n)=0．∴f(1)+f(2)+…+f(1990)=2[19903]=1326．5．设n=1990，则12n(1－3C2n+32C4n－33C6n+…+3994C1998n－3995C1990n=．解：取(－12+32i)1990展开的实部即为此式．而(－12+32i)1990=－12+32i．故原式=－12．6．8个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有种不同和排列方法．(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的)．解：每个女孩与其后的两个男孩组成一组，共8组，与余下9个男孩进行排列，某个女孩xOy1990年全国高中数学联赛冯惠愚-6-始终站第一个位子，其余7组在8+9－1个位子中选择7个位子，得C78+9－1=C716种选法．7个女孩可任意换位，25个男孩也可任意换位，故共得C716∙7!∙25!种排列方法．三．(本题满分20分)已知a，b均为正整数，且ab，sinθ=2aba2+b2，(其中0θπ2)，An=(a2+b2)nsinnθ．求证：对于一切自然数n，An均为整数．证明：由sinθ=2aba2+b2，得cosθ=a2－b2a2+b2．记An=(a2+b2)ncosnθ．当a、b均为正整数时，A1=2ab、B1=a2－b2均为整数．A2=4ab(a2－b2)，B2=2(a2－b2)2－(a2+b2)2也为整数．若Ak=(a2+b2)ksinkθ、Bk=(a2+b2)kcoskθ均为整数，则Ak+1=(a2+b2)k+1sin(k+1)θ=(a2+b2)k+1sinkθcosθ+(a2+b2)coskθsinθ=Ak∙B1+A1Bk为整数．Bk+1=(a2+b2)k+1cos(k+1)θ=(a2+b2)k+1coskθcosθ－(a2+b2)k+1sinkθsinθ=BkB1－AkA1为整数．由数学归纳原理知对于一切n∈N*，An、Bn为整数．四．n2个正数排成n行n列其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等．已知a24=1，a42=18，a43=316，求a11+a22