1984年高考理科数学试题

11984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（这份试题共八道大题，满分120分，第九题附加题10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的奎屯王新敞新疆把正确结论的代号写在题后的圆括号内。每一个小题：选对的得3分；不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分。1．数集X={(2n+1)π，n是整数}与数集Y={(4k±1)π，k是整数}之间的关系是()A．X⊂YB．X⊃YC．X=YD．X≠Y2．如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么()A．F=0,D≠0,E≠0B．E=0,F=0,D≠0C．D=0,F=0,E≠0D．D=0,E=0,F≠03．如果n是正整数，那么21[1(1)](1)8nn的值()A．一定是零B．一定是偶数C．是整数但不一定是偶数D．不一定是整数4．arccos(-x)大于arccosx的充要条件是()A．x∈(0,1]B．x∈(-1,0)C．x∈[0,1]D．x∈[0,2]5．如果θ是第二象限角，且满足cossin1sin,22那么2()A．是第一象限角B．是第三象限角C．可能是第一象限角,也可能是第三象限角D．是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分。只要求直接写出结果。1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积。2．函数log0.5(x2+4x+4)在什么区间上是增函数?3．求方程(sinx+cosx)2=12的解集。4．求式子31(||2)||xx的展开式中的常数项。5．求12lim31nnn的值。6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）。2三．（本题满分12分）本题只要求画出图形。1．设0,0()1,0xHxx当当画出函数y=H(x-1)的图象。2．画出极坐标方程(2)()0(0)4的曲线。四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线。求证这三条交线交于一点或互相平行。五．（本题满分14分）设c，d，x为实数，c≠0，x为未知数，讨论方程()log1dcxxx在什么情况下有解，有解时求出它的解。3六．（本题满分16分）(1)设p≠0，实系数一元二次方程z2-2pz+q=0有两个虚数根z1，z2。再设z1，z2在复平面内的对应点是Z1，Z2.求以Z1，Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长。(2)求经过定点M(1,2)，以y轴为准线，离心率为21的椭圆左顶点的轨迹方程。七．（本题满分15分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且c=10，cos4cos3AbBa，P为△ABC的内切圆上的动点，求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值。4八．（本题满分12分）设a2，给定数列{xn}，其中x1=a，xn+1=22(1)nnxx(n=1,2,…)求证：(1)xn2，且11nnxx(n=1,2,…)；(2)如果a≤3，那么xn≤2+112n(n=1,2,…)；(3)如果a3，那么n≥lg34lg3a时，必有xn+13.九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为23AP，直线PC与直线AO交于点M．又知当AP=34时，点P的速度为v，求这时点M的速度。llO1AMPO1AMCP51984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案（这份试题共八道大题，满分120分，第九题附加题10，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的奎屯王新敞新疆把正确结论的代号写在题后的圆括号内。每一个小题：选对的得3分；不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分。1．数集X={(2n+1)π，n是整数}与数集Y={(4k±1)π，k是整数}之间的关系是()CA．X⊂YB．X⊃YC．X=YD．X≠Y2．如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么()CA．F=0,D≠0,E≠0B．E=0,F=0,D≠0C．D=0,F=0,E≠0D．D=0,E=0,F≠03．如果n是正整数，那么21[1(1)](1)8nn的值()BA．一定是零B．一定是偶数C．是整数但不一定是偶数D．不一定是整数4．arccos(-x)大于arccosx的充要条件是()AA．x∈(0,1]B．x∈(-1,0)C．x∈[0,1]D．x∈[0,2]5．如果θ是第二象限角，且满足cossin1sin,22那么2()BA．是第一象限角B．是第三象限角C．可能是第一象限角,也可能是第三象限角D．是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分。只要求直接写出结果。1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积。答：84或.分析：圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，可以有两种形式的圆柱的展开图，分别求出底面半径和高，分别求出体积．解答：解：圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，当母线为4时，圆柱的底面半径是1，此时圆柱体积是214()4当母线为2时，圆柱的底面半径是2，此时圆柱的体积是228()2综上所求圆柱的体积是84或点评：本题考查圆柱的侧面展开图，圆柱的体积，是基础题．容易疏忽一种情况．2．函数log0.5(x2+4x+4)在什么区间上是增函数?答：在（-∞，-2）上是增函数．分析：本题是一个复合函数，故应依据复合函数的单调性来判断其单调性，先求出定义域，判断出外层函数与内层函数的单调性，再依规则来判断即可．6解答：解：令x2+4x+40，得x≠-2，由t=x2+4x+4知，其对称轴为x=-2故内层函数在（-∞，-2）上是减函数，在（-2，+∞）上是增函数．因为外层函数的底数0.5＜1，故外层是减函数，欲求复合函数的增区间，只须求内层的减区间，故函数y=log0.5(x2+4x+4)在（-∞，-2）上是增函数．点评：本题的考点是复合函数的单调性，考查了对数与二次函数的单调性的判断方法以及定义域的求法．3．求方程(sinx+cosx)2=12的解集。答：7{|,}1212xxnxnnZ或分析：利用平方关系和倍角公式对方程进行整理，根据一个周期内的正弦函数值求解，最后解集写出几何形式。解答：解：由题意知，1+sin2x=12，sin2x=12，72222()66xnxnnZ或解得7{|,}1212xxnxnnZ或点评：本题考查了三角函数方程的求解，即利用同角的基本关系、倍角公式、两角和差公式等等，对方程进行化简，再由三角函数在一个周期内的函数值和周期求出解集．4．求式子31(||2)||xx的展开式中的常数项。答：-20分析：解法一：利用分步乘法原理展开式中的常数项是三种情况的和，解法二：先将31(||2)||xx利用完全平方公式化成二项式，利用二项展开式的通项公式求得第r+1项，令x的指数为0得常数项．解答：解法一：31(||2)||xx=111(||2)(||2)(||2)||||||xxxxxx得到常数项的情况有：①三个括号中全取-2，得(-2)3；②一个括号取|x|，一个括号取1||x，一个括号取-2，得C31C21(-2)=-12，∴常数项为(-2)3+(-12)=-20．解法二：31(||2)||xx=61(||)||xx，设第r+1项为常数项，则Tr+1=66222266||(1)||(1)||rrrrrrrCxxCx，∴6-2r=0，r=3．∴T4=C63•(-1)3=-20．点评：本题考查解决二项展开式的特定项问题的重要工具有二项展开式的通项公式；还有分步乘法原理．75．求12lim31nnn的值。答：0分析：分子、分母同时除以3n，原式可转化为已知数列的极限。解答：解：原式=12()()0033lim01101()3nnnn点评：本题考查数列的极限和运算，解题时要注意合理地进行等价转化．6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）。答：A66•A74分析：首先分析两个舞蹈节目不得相邻的排列法，可以猜想到用插空法求解，然后分别求出舞蹈节目的排法及歌唱节目的排法，相乘即可得到答案。解答：解：此题采用插空法，先排6个歌唱节目共有A66种，因为任何两个舞蹈节目不得相邻，可再把4个舞蹈节目插到7个空位上就不会相邻了，共有A74种排法，所以共有种A66•A74排法。点评：此题主要考查排列组合及其简单的计数问题，对于不相邻这种类型题目的求解，要想到可以用插空法求解，这种解题思路非常重要，要很好的理解记忆。三．（本题满分12分）本题只要求画出图形。1．设0,0()1,0xHxx当当画出函数y=H(x-1)的图象。分析：考查函数图象的变化，y=H(x-1)的图象是由y=H(x)的图象向右平移一个图象得到的．故可以先画出H(x)的图象然后再向右平移1个单位得到H(x-1)的图象。解答：解：点评：考查函数图象的平移问题．记y=f(x)，则y=f(x+1)，y=f(x-1)，y=f(x)+1，y=f(x)-1的图象，是由y=f(x)图象分别向左，向右，向上，向下平移1个单位得到的。2．画出极坐标方程(2)()0(0)4的曲线。分析：先将方程化简一下，然后根据极坐标方程的几何意义进行画图即可．解答：解：方程可化为：ρ=2或θ=4(ρ0)ρ=2表示圆心在极点，半径为2的圆，θ=4表示极角为4的射线，画出图象即可．点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及作图能力的考查，属于基础题．yxO11xO1248四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线。求证这三条交线交于一点或互相平行。分析：证明时要分三条交线交于一点，和三条交线互相平行两种情况；(1)证三线交于一点时，先由两线交于一点，再证这一点也在第三条直线上；(2)证三线平行时，先由两线平行，再证第三条直线与这两条平行线中的任一条直线平行即可。解答：证明：设三个平面为α，β，γ，且α∩β=c，α∩γ=b，β∩γ=a；∵α∩β=c，α∩γ=b，∴c⊂α，b⊂α；∴c与b交于一点，或互相平行。(1)如图1，若c∩b=P。由P∈c，且c⊂β，有P∈β；又由P∈b，b⊂γ，有P∈γ；∴P∈β∩γ=a；所以，直线a，b，c交于一点（即P点）。(2)如图②，若c//b，则由b⊂γ，且c⊄γ，∴c//γ；又由c⊂β，且β∩γ=a，∴c//a；所以a，b，c互相平行．点评：本题考查了空间中的直线平行，或相交的证明，特别是几何符号语言的应用，是有难度的问题。五．（本题满分14分）设c，d，x为实数，c≠0，x为未知数，讨论方程()log1dcxxx在什么情况下有解，有解时求出它的解。分析：先将对数式转化为指数式，再根据对数函数的真数大于0，底数大于0且不等于1找到方程有根的等价条件后可解题．解答：解：原方程有解的充要条件是：10(1)0(2)1(3)()(4)xdcxcdcxcdcxxc由条件(4)知()1dxcxc所以cx2+d=1，再由c≠0，可得21dxc，又由()1dxcxc及x＞0，知0dcxc，即条件(2)包含在条件(1)及(4)中，再由条件(3)及()1dxcxc知x≠1，图1Pαbcaγ图2cαbaγ9因此，原条件可简化为以下的等价条件组：20(1)1(5)1(6)xxdxc