1985年全国高考数学试题及其解析

1985年全国高考数学试题及其解析理工农医类试题本试卷共八道大题，满分120分。第九题是附加题，满分10分，不计入总分一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对的得3分、不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分。（1）如果正方体ABCD-A＇B＇C＇D＇的棱长为a，那么四面体A＇-ABD的体积是（)（2）451tanxx是的（）（A）必要条件（B）充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分又不必要的条件（3）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间)2,0(上的增函数又是以π为周期的偶函数？（）（A）).(2Rxxy（B）)(|sin|Rxxy（C）)(2cosRxxy（D）)(2sinRxeyx(4)极坐标方程)0(sinaa的图象是（）（5）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（）（A）96个（B）78个（C）72个（D）64个二．（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分。只要求直接写出结果）（1）求方程1)6sin(2x解集。（2）设1||a，求)arccos(arccosaa的值。（3）求曲线64162xy的焦点。（4）设(3x-1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值。（5）设函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数f(x2)的定义域。三．（本题满分14分）（1）解方程).12(log)1(log)3(log)3(log25.0425.04xxxx（2）解不等式.152xx四．（本题满分15分）如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为450，P为平面AC内的一点，Q为面BD内的一点。已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并且M在BC上。又设PQ与平面BD所成的角为β，∠CMQ=θ（00θ900)，线段PM的长为a，求线段PQ的长。五．（本题满分15分）设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面内的两动点，并且满足：（1）Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和-θ)20(，（2）△OZ1Z2的面积为定值S。求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值。六．（本题满分15分）已知两点P（-2，2），Q（0，2）以及一条直线：L:y=x，设长为2的线段AB在直线L上移动，如图。求直线PA和QB的交点M的轨迹方程。（要求把结果写成普通方程）七．（本题满分14分）设)2,1()1(3221nnnan（1）证明不等式2)1(2)1(2nannn对所有的正整数n都成立。（2）设),2,1()1(nnnabnn用定义证明.21limnnb八．（本题满分12分）设a,b是两个实数，A={(x,y)|x=n,y=na+b,n是整数}，B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,m是整数}，C={(x,y)|x2+y2≤144}，是平面XOY内的点集合，讨论是否存在a和b使得（1）A∩B≠（表示空集），（2）（a,b)∈C同时成立。九．（附加题，本题满分10分，）已知曲线y=x3-6x2+11x-6.在它对应于]2,0[x的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值。文史类试题（本试卷共八道大题，满分120分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的。把正确结论的代号写在题后的圆括号内。每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分。（1）如果正方体ABCD-A＇B＇C＇D＇的棱长为a，那么四面体A＇-ABD的体积是（)6(D)4(C)3(B)2)(3333aaaaA（2）451tanxx是的（）（A）必要条件（B）充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分又不必要的条件（3）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合ZYX)(是（）（A）{0，1，2，6，8}（B）{3，7，8}（C）{1，3，7，8}（D）{1，3，6，7，8}（4）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间)2,0(上的增函数又是以π为周期的偶函数？（）（A）).(2Rxxy（B）)(|sin|Rxxy（C）)(2cosRxxy（D）)(2sinRxeyx（5）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（）（A）96个（B）78个（C）72个（D）64个二．（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分。只要求直接写出结果）（1）求函数的定义域142xxy。（2）求圆锥曲线3x2-y2+6x+2y-1=0的离心率。（3）求函数y=-x2+4x-2在区间[0，3]上的最大值和最小值。（4）设(3x-1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值。（5）设i是虚数单位，求(1+i)6的值三．（本题满分14分）设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…，Sn=12+22+32+…+n2+…+32+22+12,…用数学归纳法证明：公式3)12(2nnSn对所有的正整数n都成立。四．（本题满分13分）证明三角恒等式)cos1(2cos3coscos52sin43sin22424xxxxxx五．（本题满分16分）（1）解方程)12lg()1lg()3lg()3lg(xxxx（2）解不等式.152xx六．（本题满分15分）设三棱锥V-ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h。求这个所棱锥底面的内切圆半径。七．（本题满分15分）已知一个圆C：x2+y2+4x-12y+39=0和一条直线L:3x-4y+5=0。求圆C关于直线L的对称的圆的方程。八．（本题满分12分）设首项为1，公比为q(q＞0)的等比数列的前n项之和为Sn。又设Tn=.lim.,2,1,1nnnnnTnSS求理工农医类参考答案及解析一、本题考查基本概念和基本运算.(1)D;(2)A;(3)B;(4)C;(5)B.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.（1）}.,6]1)1[(|{Zkkxxk(2)π;(3)(0,0);(4)64（或26）(5)[-1,1](或{x│-1≤x≤1},或-1≤x≤1).三、本题考查对数方程、无理不等式的解法和分析问题的能力.（1）解：由原对数方程得,312log312log13log425.04xxxxxx1)3)(1()12)(3(,031213log4xxxxxxxx由此得到解这个方程，得到x1=0,x2=7.检验：x=7是增根，x=0是原方程的根。（2）解：125201052010522xxxxxxx或解得}.225|{xx四、本题考查三垂线定理、二面角、斜线与平面所成的角、解三角形、空间想象能力和综合运用知识的能力.解：自点P作平面BD的垂线，垂足为R，由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，所以R在MQ上，过R作BC的垂线，设垂足为N，则PN⊥BC。（三垂线定理）因此∠PNR是所给二面角的平面角，所以∠PNR=450由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，所以∠PQR=β在Rt△PNR中，NR=PRctg450,所以NR=PR。在Rt△MNR中，MR=sin1sin1PRNR。在Rt△PMR中，)sin11(sin22222222PRPRPRMRPRa又已知00＜θ＜900，所以.sin1sin2aPR在Rt△PRQ中，.sin1sinsinsin12aPRPQ故线段PQ的长为2sin1sinsina。五、本题考查复数的概念、复数运算的几何意义、三角恒等式、不等式以及灵活运用知识的能力.解：设Z1,Z2和Z对应的复数分别为z1,z2和z，其中).sin(),sin(2211icorzicorz由于Z是△OZ1Z2的重心，根据复数加法的几何意义，则有.sin)(cos)(3212121irrrrzzz于是22122122212212221222122212cos4)(sin)(cos4cos)(sin)(cos)(|3|rrrrrrrrrrrrrrz又知△OZ1Z2的面积为定值S及)20(02sin，所以.32||,||,2sin24)(2sincos8)(|3|,2sin2,2sin2121221222122121SctgzzSrrSctgrrSrrzSrrSrr最小值且最小时故当由此即六、本题考查直线方程、两点间的距离公式、参数方程以及轨迹方程的求法.解：由于线段AB在直线y=x上移动，且AB的长2，所以可设点A和B分别是（a,a)和(a+1,a+1)，其中a为参数。于是可得：直线PA的方程是)1()2()2(222axaay直线QB的方程是)2()1(112axaay1.当,0,1122时即aaaaa直线PA和QB平行，无交点。2．当0a时，直线PA与QB相交，设交点为M(x,y)，由（2）式得.2632,2232,221,)121(2yxxyayxyxayxxaxay将上述两式代入（1）式，得(*)18)1(8)1(0822)2(236322222yxyxyxxyxxyy即整理得当a=-2或a=-1时，直线PA和QB仍然相交，并且交点坐标也满足（*）式。所以（*）式即为所求动点的轨迹方程。注：考生没指出“a=0”及“a=-2或a=-1”时的情形不扣分。七、本题考查数列和极限的基础知识,证明不等式的基本方法.（1）证一：用数学归纳法。略。证二：由不等式2122)1()1(kkkkkk对所有正整数k成立，把它对k从1到n（n≥1）求和，得到212252321nann又因,2)1(21nnn以及.2)1(2)1(,2)1()]12(531[21212252322nannnnnn因此不等式对所有的正整数n都成立。（2）由（1）及bn的定义知nbbnnnbnnn212121,21212121于是对任意指定的正数ε，要使21nb，只要使n21，即只要使.21n取N是21的整数部分，则数列bn的第N项以后所有的项都满足21nb。根据极限的定义，证得.21limnnb八、本题考查集合的基本知识,不等式的证明以及分析问题的能力.解：如果实数a和b使得（1）成立，于是存在整数m和n使得(n,na+b)=(m,3m2+15),即.153,2mbnamn由此得出，存在整数n使得na+b=3n2+15,或写成na+b-(3n2+15)=0这个等式表明点P（a,b)在直线L：nx+y-(3n2+15)=0上，记从原点到直线L的距离为d，于是12)1221(611532222nnnnd当且仅当3,12122nn即时上式中等号才成立。由于n是整数，因此32n，所以上式中等号不可能成立。即12d因为