1985高考数学试卷理科

1985年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案考生注意：这份试题共八道大题，满分120分奎屯王新敞新疆第九题是附加题，满分10分，不计入总分奎屯王新敞新疆一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对的得3分、不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分奎屯王新敞新疆（1）如果正方体ABCD-A＇B＇C＇D＇的棱长为a，那么四面体A＇-ABD的体积是（D)6(D)4(C)3(B)2)(3333aaaaA（2）451xtgx是的（A）（A）必要条件（B）充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分又不必要的条件（3）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间)2,0(上的增函数又是以π为周期的偶函数？（B）（A）).(2Rxxy（B）)(|sin|Rxxy（C）)(2cosRxxy（D）)(2sinRxeyx(4)极坐标方程)0(sinaa的图象是（C）(A)OX2a（5）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（B）（A）96个（B）78个（C）72个（D）64个二．（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分奎屯王新敞新疆只要求直接写出结果）集奎屯王新敞新疆（1）求方程1)6sin(2x解答：}.,6]1)1[(|{Zkkxxk（2）设1||a，求)arccos(arccosaa的值奎屯王新敞新疆答：π奎屯王新敞新疆（3）求曲线64162xy的焦点奎屯王新敞新疆答：（0，0）（4）设(3x-1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值奎屯王新敞新疆(C)OX(B)OaX(D)aOX2a答：64（或26）（5）设函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数f(x2)的定义域奎屯王新敞新疆答：[-1，1]三．（本题满分14分）（1）解方程).12(log)1(log)3(log)3(log25.0425.04xxxx解：由原对数方程得,312log312log13log425.04xxxxxx1)3)(1()12)(3(,031213log4xxxxxxxx由此得到解这个方程，得到x1=0,x2=7.检验：x=7是增根，x=0是原方程的根奎屯王新敞新疆（2）解不等式.152xx解：125201052010522xxxxxxx或解得}.225|{xx四．（本题满分15分）如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为450，P为平面AC内的一点，Q为面BD内的一点奎屯王新敞新疆已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并且M在BC上奎屯王新敞新疆又设PQ与平面BD所成的角为β，∠CMQ=θ（00θ900)，线段PM的长为a，求线段PQ的长奎屯王新敞新疆解：自点P作平面BD的垂线，垂足为R，由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，所以R在MQ上，过R作BC的垂线，设垂足为N，则PN⊥BC奎屯王新敞新疆（三垂线定理）因此∠PNR是所给二面角的平面角，所以∠PNR=450由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，所以∠PQR=β在Rt△PNR中，NR=PRctg450,所以NR=PR奎屯王新敞新疆在Rt△MNR中，MR=sin1sin1PRNR奎屯王新敞新疆在Rt△PMR中，)sin11(sin22222222PRPRPRMRPRa又已知00＜θ＜900，所以.sin1sin2aPR在Rt△PRQ中，.sin1sinsinsin12aPRPQ故线段PQ的长为2sin1sinsina奎屯王新敞新疆五．（本题满分15分）设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面内的两动点，并且满足：（1）Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和-θ)20(，（2）△OZ1Z2的面积为定值S奎屯王新敞新疆求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值奎屯王新敞新疆APBNC450MθRβQD解：设Z1,Z2和Z对应的复数分别为z1,z2和z，其中).sin(),sin(2211icorzicorz由于Z是△OZ1Z2的重心，根据复数加法的几何意义，则有.sin)(cos)(3212121irrrrzzz于是22122122212212221222122212cos4)(sin)(cos4cos)(sin)(cos)(|3|rrrrrrrrrrrrrrz又知△OZ1Z2的面积为定值S及)20(02sin，所以.32||,||,2sin24)(2sincos8)(|3|,2sin2,2sin2121221222122121SctgzzSrrSctgrrSrrzSrrSrr最小值且最小时故当由此即六．（本题满分15分）已知两点P（-2，2），Q（0，2）以及一条直线：L:y=x，设长为2的线段AB在直线L上移动，如图奎屯王新敞新疆求直线PA和QB的交点M的轨迹方程奎屯王新敞新疆（要求把结果写成普通方程）解：由于线段AB在直线y=x上移动，且AB的长2，所以可设点A和B分别是（a,a)和(a+1,a+1)，其中a为参数奎屯王新敞新疆YZ1θO-θXZ2于是可得：直线PA的方程是)1()2()2(222axaay直线QB的方程是)2()1(112axaay1.当,0,1122时即aaaaa直线PA和QB平行，无交点奎屯王新敞新疆2．当0a时，直线PA与QB相交，设交点为M(x,y)，由（2）式得.2632,2232,221,)121(2yxxyayxyxayxxaxay将上述两式代入（1）式，得(*)18)1(8)1(0822)2(236322222yxyxyxxyxxyy即整理得当a=-2或a=-1时，直线PA和QB仍然相交，并且交点坐标也满足（*）式奎屯王新敞新疆所以（*）式即为所求动点的轨迹方程奎屯王新敞新疆注：考生没指出“a=0”及“a=-2或a=-1”时的情形不扣分奎屯王新敞新疆七．（本题满分14分）设)2,1()1(3221nnnan（1）证明不等式2)1(2)1(2nannn对所有的正整数n都成立奎屯王新敞新疆（2）设),2,1()1(nnnabnn用定义证明.21limnnbYy=xQP·XBOAM2（1）证一：用数学归纳法奎屯王新敞新疆略奎屯王新敞新疆证二：由不等式2122)1()1(kkkkkk对所有正整数k成立，把它对k从1到n（n≥1）求和，得到212252321nann又因,2)1(21nnn以及.2)1(2)1(,2)1()]12(531[21212252322nannnnnn因此不等式对所有的正整数n都成立奎屯王新敞新疆（2）由（1）及bn的定义知nbbnnnbnnn212121,21212121于是对任意指定的正数ε，要使21nb，只要使n21，即只要使.21n取N是21的整数部分，则数列bn的第N项以后所有的项都满足21nb奎屯王新敞新疆根据极限的定义，证得.21limnnb八．（本题满分12分）设a,b是两个实数，A={(x,y)|x=n,y=na+b,n是整数}，B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,m是整数}，C={(x,y)|x2+y2≤144}，是平面XOY内的点集合，讨论是否存在a和b使得（1）A∩B≠（表示空集），（2）（a,b)∈C同时成立奎屯王新敞新疆解：如果实数a和b使得（1）成立，于是存在整数m和n使得(n,na+b)=(m,3m2+15),即.153,2mbnamn由此得出，存在整数n使得na+b=3n2+15,或写成na+b-(3n2+15)=0这个等式表明点P（a,b)在直线L：nx+y-(3n2+15)=0上，记从原点到直线L的距离为d，于是12)1221(611532222nnnnd当且仅当3,12122nn即时上式中等号才成立奎屯王新敞新疆由于n是整数，因此32n，所以上式中等号不可能成立奎屯王新敞新疆即12d因为点P在直线L上，点P到原点的距离22ba必满足.1222dba而（2）成立要求a2+b2≤144，即1222ba奎屯王新敞新疆由此可见使得（1）成立的a和b必不能使（2）成立奎屯王新敞新疆所以，不存在实数a和b使得（1），（2）同时成立九．（附加题，本题满分10分，）已知曲线y=x3-6x2+11x-6.在它对应于]2,0[x的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值奎屯王新敞新疆解：已知曲线方程是y=x3-6x2+11x-6，因此y＇=3x2-12x+11在曲线上任取一点P(x0,y0),则点P处切线的斜率是y＇|x=x0=3x02-12x0+11点P处切线方程是y=(3x02-12x0+11)(x-x0)+y0设这切线与y轴的截距为r，则r=(3x02-12x0+11)(-x0)+(x03-6x02+11x0-6)=-2x03+6x02-6根据题意，要求r（它是以x0为自变量的函数）在区间[0，2]上的最小值奎屯王新敞新疆因为r＇=-6x02+12x0=-6x0(x0-2)当0＜x0＜2时r＇＞0，因此r是增函数，故r在区间[0，2]的左端点x0=0处取到最小值奎屯王新敞新疆即在点P（0，-6）处切线在y轴上的截距最小奎屯王新敞新疆这个最小值是r最小值=-6