1986年全国高中数学联赛试题及解答

1986年全国高中数学联赛冯惠愚-1-1986年全国高中数学联赛试题第一试1．选择题(本题满分42分，每小题7分，每小题答对得7分，答错得0分不答得1分)⑴设－1a0，θ=arcsina，那么不等式sinxa的解集为()A．{x|2nπ+θx(2n+1)π－θ，n∈Z}B．{x|2nπ－θx(2n+1)π+θ，n∈Z}C．{x|(2n－1)π+θx2nπ－θ，n∈Z}D．{x|2nπ+θx(2n+1)π－θ，n∈Z}⑵设x为复数，M={z|(z－1)2=|z－1|2}，那么()A．M={纯虚数}B．M={实数}C．{实数}M{复数}D．M={复数}⑶设实数a、b、c满足a2－bc－8a+7=0，b2+c2+bc－6a+6=0．那么，a的取值范围是()A．(－∞，+∞)B．(－∞，1]∪[9，+∞)C．(0，7)D．[1，9]⑷如果四面体的每一个面都不是等腰三角形，那么其长度不等的棱的条数最少为()A．3B．4C．5D．6⑸平面上有一个点集和七个不同的圆C1，C2，…，C7，其中圆C7恰好经过M中的7个点，圆C6恰好经过M中的6个点，…，圆C1恰好经过M中的1个点，那么M中的点数最少为()A．11B．12C．21D．28⑹边长为a、b、c的三角形，其面积等于14，而外接圆半径为1，若s=a+b+c，t=1a+1b+1c，则s与t的大小关系是A．stB．s=tC．stD．不确定2．填空题(本题满分28分，每小题7分)：本题共有4个小题，每小题的答案都是000到999的某一个整数，请把你认为正确的答案填在上．⑴在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，其球心距为13，若作一平面与这二球面相切，且与圆柱面交成一个椭圆，则这个椭圆的长轴长与短轴长之和是．⑵已知f(x)=|1－2x|，x∈[0，1]，那么方程f(f(f(x)))=12x的解的个数是．1986年全国高中数学联赛冯惠愚-2-⑶设f(x)=4x4x+2，那么和式f(11001)+f(21001)+f(31001)+…+f(10001001)的值等于；⑷设x、y、z为非负实数，且满足方程45x+9y+4z－6825x+9y+4z+256=0，那么x+y+z的最大值与最小值的乘积等于．1986年全国高中数学联赛冯惠愚-3-第二试1．(本题满分17分)已知实数列a0，a1，a2，…，满足ai－1+ai+1=2ai，(i=1，2，3，…)求证：对于任何自然数n，P(x)=a0C0n(1-x)n+a1C1nx(1-x)n-1+a2C2nx2(1-x)n-2+…+an-1Cn－1nxn-1(1-x)+anCnnxn是一次多项式．(本题应增加条件：a0≠a1)2．(本题满分17分)已知锐角三角形ABC的外接圆半径为R，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，求证：AD，BE，CF是⊿ABC的三条高的充要条件是S=R2(EF+FD+DE）．式中S是三角形ABC的面积．1986年全国高中数学联赛冯惠愚-4-3．平面直角坐标系中，纵横坐标都是整数的点称为整点，请设计一种染色方法将所有的整点都染色，每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得⑴每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上；⑵对任意白色A、红点B和黑点C，总可以找到一个红点D，使得ABCD为一平行四边形．证明你设计的方法符合上述要求．1986年全国高中数学联赛冯惠愚-5-1986年全国高中数学联赛解答第一试1．选择题(本题满分42分，每小题7分，每小题答对得7分，答错得0分不答得1分)⑴设－1a0，θ=arcsina，那么不等式sinxa的解集为()A．{x|2nπ+θx(2n+1)π－θ，n∈Z}B．{x|2nπ－θx(2n+1)π+θ，n∈Z}C．{x|(2n－1)π+θx2nπ－θ，n∈Z}D．{x|(2n－1)π－θx2nπ+θ，n∈Z}解：－π2θ0，在(－π，0)内满足sinxa的角为－π－θxθ，由单位圆易得解为D．⑵设x为复数，M={z|(z－1)2=|z－1|2}，那么()A．M={纯虚数}B．M={实数}C．{实数}M{复数}D．M={复数}解：即(z－1)2－(z－1)(－z－1)=0，(z－1)(z－－z)=0，z=1或z=－z，总之，z为实数．选B⑶设实数a、b、c满足a2－bc－8a+7=0，b2+c2+bc－6a+6=0．那么，a的取值范围是()A．(－∞，+∞)B．(－∞，1]∪[9，+∞)C．(0，7)D．[1，9]解：①×3+②：b2+c2－2bc+3a2－30a+27=0，(b－c)2+3(a－1)(a－9)=0，1≤a≤9．选D．b2+c2+2bc－a2+2a－1=0，(b+c)2=(a－1)2，b+c=a－1，或b+c=－a+1．⑷如果四面体的每一个面都不是等腰三角形，那么其长度不等的棱的条数最少为()A．3B．4C．5D．6解：取等腰四面体，其棱长至多2种长度．棱长少于3时，必出现等腰三角形．选A．⑸平面上有一个点集和七个不同的圆C1，C2，…，C7，其中圆C7恰好经过M中的7个点，圆C6恰好经过M中的6个点，…，圆C1恰好经过M中的1个点，那么M中的点数最少为()A．11B．12C．21D．28解：首先，C7经过M中7个点，C6与C7至多2个公共点，故C6中至少另有4个M中的点，C5至少经过M中另外1个点，共有至少7+4+1=12个点．⑹边长为a、b、c的三角形，其面积等于14，而外接圆半径为1，若s=a+b+c，t=1a+1b+1c，则s与t的大小关系是Oxy11986年全国高中数学联赛冯惠愚-6-A．stB．s=tC．stD．不确定解：△=12absinC=abc4R，由R=1，△=14，知abc=1．且三角形不是等边三角形．∴1a+1b+1c≥1ab+1bc+1ca=a+b+cabc=a+b+c．(等号不成立)．选C．2．填空题(本题满分28分，每小题7分)：本题共有4个小题，每小题的答案都是000到999的某一个整数，请把你认为正确的答案填在上．⑴在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，其球心距为13，若作一平面与这二球面相切，且与圆柱面交成一个椭圆，则这个椭圆的长轴长与短轴长之和是．解：易得cosα=66.5=1213，于是椭圆长轴=13，短轴=12．所求和=25．⑵已知f(x)=|1－2x|，x∈[0，1]，那么方程f(f(f(x)))=12x的解的个数是．解：f(f(x))=|1－2|1－2x||=1－4x，(0≤x≤14)4x－1，(14≤x≤12)3－4x，(12≤x≤34)4x－3，(34≤x≤1)同样f(f(f(x)))的图象为8条线段，其斜率分别为±8，夹在y=0与y=1，x=0，x=1之内．它们各与线段y=12x(0≤x≤1)有1个交点．故本题共计8解．⑶设f(x)=4x4x+2，那么和式f(11001)+f(21001)+f(31001)+…+f(10001001)的值等于；解f(x)+f(1－x)=4x4x+2+41－x41－x+2=4x4x+2+44+24x=1．⑴以x=11001，21001，31001，…，5001001代入⑴式，即得所求和=500．⑷设x、y、z为非负实数，且满足方程45x+9y+4z－6825x+9y+4z+256=0，那么x+y+z的最大值与最小值的乘积等于；解：令25x+9y+4z=t，则得，t2－68t+256=0，(t－64)(t－4)=0，t=4，t=64．1986年全国高中数学联赛冯惠愚-7-5x+9y+4z=25x+9y+4z=4，9(x+y+z)=4+4x+5z≥4，x+y+z≥49；4(x+y+z)=4－x－5y≤4，x+y+z≤1x+y+z∈[49，1]；5x+9y+4z=65x+9y+4z=36，9(x+y+z)=36+4x+5z≥36，x+y+z≥4；4(x+y+z)=36－x－5y≤36，x+y+z≤9．故，所求最大值与最小值的乘积=499=4．第二试1．(本题满分17分)已知实数列a0，a1，a2，…，满足ai－1+ai+1=2ai，(i=1，2，3，…)求证：对于任何自然数n，P(x)=a0C0n(1-x)n+a1C1nx(1-x)n-1+a2C2nx2(1-x)n-2+…+an-1Cn－1nxn-1(1-x)+anCnnxn是一次多项式．(本题应增加条件：a0≠a1)证明：由已知，得ai+1－ai=ai－ai－1，故{ai}是等差数列．设ai－ai－1=d≠0．则ak=a0+kd．于是P(x)=a0C0n(1-x)n+a1C1nx(1-x)n-1+a2C2nx2(1-x)n-2+…+an-1Cn－1n,n)xn-1(1-x)+anCnnxn=a0C0n(1-x)n+(a0+d)C1nx(1-x)n-1+(a0+2d)C2nx2(1-x)n-2+…+(a0+(n－1)d)Cn－1nxn-1(1-x)+(a0+nd)Cnnxn=a0[C0n(1-x)n+C1nx(1-x)n-1+C2nx2(1-x)n-2+…+Cn－1nxn-1(1-x)+Cnnxn]+d[C1nx(1-x)n-1+2C2nx2(1-x)n-2+…+(n－1)Cn－1nxn-1(1-x)+nCnnxn](由kCkn=nCk－1n－1)=a0(1－x+x)n+ndx[C0n－1(1-x)n-1+C1n－1x(1-x)n-2+…+Cn－2n－1xn-2(1-x)+Cn－1n－1xn－1]=a0+ndx(1－x+x)n－1=a0+ndx=a0+(an－a0)x．此为一次多项式．证毕．2．(本题满分17分)已知锐角三角形ABC的外接圆半径为R，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，求证：AD，BE，CF是⊿ABC的三条高的充要条件是S=R2(EF+FD+DE)．式中S是三角形ABC的面积．证明连OA，则由C、E、F、B四点共圆，得AFE=C，又在⊿OAB中，ABCDEFO1986年全国高中数学联赛冯惠愚-8-OAF=(180-2C)/2=90-C，∴OA⊥EF．∴SOEAF=EF·OA2=R2·EF，同理，SOFBD=R2·DF，SODCE=R2·DE，故得S=R2(EF+FD+DE)．反之，由S=R2(EF+FD+DE）．得OA⊥EF，OB⊥FD，OC⊥ED，否则SR2(EF+FD+DE）．过A作⊙O的切线AT，则∠AFE=∠TAF=∠ACB，B、F、E、D共圆，同理，A、F、D、C共圆，A、E、D、B共圆．∠AFC=∠ADC，∠AEB=∠ADB．∴∠AFC+∠AEB=∠ADC+∠ADB=180°．但∠BFC=∠BEC，即∠AFC=∠AEB=90°，于是F、E为垂足，同理D为垂足．故证．3．(本题16分)平面直角坐标系中，纵横坐标都是整数的点称为整点，请设计一种染色方法将所有的整点都染色，每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得⑴每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上；⑵对任意白色A、红点B和黑点C，总可以找到一个红点D，使得ABCD为一平行四边形．证明你设计的方法符合上述要求．证明：设任一点的坐标为(x，y)，把x+y≡1(mod4)的点染白，x+y≡3(mod4)的点染黑，x+y≡0或2(mod4)的点染红．显然，这样染色的点满足要求．首先，每条平行于x轴的直线上都有三种颜色的点．即每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上；其次，对于任一白点A(x1，y1)，任一红点B(x2，y2)，与任一黑点C(x3，y3)，当点D(x4，y4)与之组成平行四边形时，有x1+x3=x2+x4，y1+y3=y2+y4．而x1+y1+x3+y3≡0(mod4)，于是x2+y2+x4+y4≡0(mod4)，故x4+y3≡0(当x2+y2≡0时)或2(当x2+y2≡2时)(mod4)．即点D为红点．