1986高考数学试卷

1986年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案一．（本题满分30分）（1）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（B）（A）)4sin4(cos2i（B）)4sin4(cos2i（C）)4cos4(sin2i（D）)4cos4(sin2i（2）函数15xy的反函数是（C）（A）)1(log5xy（B）15logxy（C）)1(log5xy（D）5log)1(xy（3）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5}，B={1，3，6}，那么集合{2，7，8}是（D）（A）A∪B（B）A∩B（C）A∪B（D）A∩B（4）函数xxy2cos2sin2是（A）（A）周期为2的奇函数（B）周期为2的偶函数（C）周期为4的奇函数（D）周期为4的偶函数（5）已知c0，在下列不等式中成立的一个是（C）（A)cc2(B)cc)21((C)cc)21(2(D)cc)21(2（6）给出20个数：（B）87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（A）1789（B）1799（C）1879（D）1899(7)已知某正方体对角线长为a，那么，这个正方体的全面积是(B)（A）222a（B）22a（C）232a（D）223a（8）如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F＞0)所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（A）（A）D=E（B）D=F（C）E=F（D）D=E=F（9）设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的（D）（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要的条件（10）在下列各图中，y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0）的图象只可能是（D）二．（本题满分24分）（1）求方程4)5.0(5252xx的解奎屯王新敞新疆答：.23,2121xx（注：仅写出其中一个解的，给2分奎屯王新敞新疆）（2）已知1,2312求i的值奎屯王新敞新疆答：0（3）在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）奎屯王新敞新疆求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积奎屯王新敞新疆答：325（A）（B）（C）（D）YYYYOOXXOXOX（4）求.4572lim22nnnn答：52（5）求523)12(xx展开式中的常数项奎屯王新敞新疆答：-40奎屯王新敞新疆（6）求椭圆14922yx有公共焦点，且离心率为25的双曲线方程奎屯王新敞新疆答：.1422yx三．（本题满分10分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：平面PAC垂直于平面PBC奎屯王新敞新疆证：设圆O所在平面为α，由已知条件，PA⊥平面α，又BC在平面α内，因此PA⊥BC奎屯王新敞新疆因为∠BCA是直角，因此BC⊥AC而PA与AC是△PAC所在平面内的相交直线，因此BC⊥△PAC所在平面，从而证得，△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直奎屯王新敞新疆四．（本题满分10分）求满足方程3|33|iZ的辐角主值最小的复数Z.PCAOB解：满足方程3|33|iZ的复数在复平面上所对应的点的全体组成了如图所示的一个圆，其圆心A对应的复数为i33，半径为3，因而圆与x轴相切于点Q，点Q对应的复数是-3奎屯王新敞新疆从点O作圆的另一条切线OP，P为切点，则点P所对应的复数为所求的复数奎屯王新敞新疆∵),150sin150(cos3233ii设点B对应的复数为1，∴∠BOA=1500，|OA|=32，∠QOA=1800-∠BOA=300∵OP、OQ是同一点引出的圆的两条切线，A是圆心，∴∠AOP=∠QOA=300，∠QOP=2∠QOA=600，∠BOP=1800-∠QOP=1200，|OP|=|OA|cos∠AOP=.32332∴所求的复数Z=.32323)2321(3)120sin120(cos3iii五．（本题满分12分）已知抛物线y2=x+1，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线奎屯王新敞新疆解：设点B的坐标（X,Y)，点P的坐标为（x,y)，则Y43P2A1Q-4-3-2-1OX,2123,012231)1(23)13(21,)2(),1(,1,)2(),13(21)1(),1(23312211121,3322113212222yyxxyyxyXYPyYxXYYyXXx即化简得得代入此方程将在抛物线上点因此轨迹为抛物线奎屯王新敞新疆六．（本题满分10分）甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两个公司各承包2项，问共有多少种承包方式奎屯王新敞新疆略解：共有：168022241538CCCC（种）（注：原解答要求分步说明，直接给出上式只给8分）七．（本题满分12分）已知sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b.求证：（1）当b≠时，tg3A=ba.(2).)2cos21(222baA证：由已知sinA+sin3A+sin5A=a,利用和差化积公式得2sin3Acos2A+sin3A=a,∴sin3A(1+2cos2A)=a,①又由已知cosA+cos3A+cos5A=b，利用和差化积公式得2cos3Acos2A+cos3A=b,∴cos3A(1+2cos2A)=b,②YB·PAOX当b≠时，①÷②得,3cos3sinbaAA从而证得tg3A=ba.又①2+②2得sin23A(1+2cos2A)2+cos23A(1+2cos2A)2=a2+b2,∴(1+2cos2A)2(sin23A+cos23A)=a2+b2,∴.)2cos21(222baA八．（本题满分12分）已知数列{an},其中,913,3421aa且当n≥3时，).(31211nnnnaaaa（1）求数列{an}的通项公式奎屯王新敞新疆（2）求.limnna解：（1）设,11nnnxaa则由已知条件得,3121nnxx所以数列{an}组成了一个公比为31的等比数列，其首项,91121aax,)31(161311)31(1)31()31()31()31()()()(.)31()4,3,2(,)31()31(112321231211211nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaanxx即.23023)31(21lim23)31(2123limlim)2(.)31(2123)31(16111nnnnnnnnnaaa