1987年全国统一高考数学试卷(文科)

1987年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）设S，T是两个非空集合，且S⊈T，T⊈S，令X=S∩T，那么S∪X等于（）A．XB．TC．φD．S2．（3分）设椭圆方程为，令c2=a2﹣b2，那么它的准线方程为（）A．B．C．D．3．（3分）设log34•log48•log8m=log416，那么m等于（）A．B．9C．18D．274．（3分）复数sin40°﹣icos40°的辐角为（）A．40°B．140°C．220°D．310°5．（3分）二次函数y=f（x）的图象如图所示，那么此函数为（）A．y=x2﹣4B．y=4﹣x2C．D．6．（3分）函数f（x）是R上以2为周期的奇函数，已知当x∈（0，1）时，f（x）=log2，则f（x）在区间（1，2）上是（）A．减函数，且f（x）＜0B．增函数，且f（x）＜0C．减函数，且f（x）＞0D．增函数，且f（x）＞07．（3分）已知平面上一点P在原坐标系中的坐标为（0，m）（m≠0），而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为（m，0），那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为（A）A．（﹣m，m）B．（m，﹣m）C．（m，m）D．（﹣m，﹣m）8．（3分）（2012•德阳二模）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平行移动B．向右平行移动C．向左平行移动D．向右平行移动二、解答题（共7小题，满分96分）9．（28分）已知方程表示双曲线，求λ的范围．10．（10分）发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数：IA=Isinωt，IB=Isin（ωt+120°），IC=Isin（ωt+240°），求IA+IB+IC的值．11．（12分）在复平面内，已知等边三角形的两个顶点所表示的复数分别为，求第三个顶点所表示的复数．12．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=L，PA，BC的公垂线ED=h．求证三棱锥P﹣ABC的体积V=L2h．13．（10分）设对所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围．14．（12分）设数列a1，a2，…，an，…的前n项的和Sn与an的关系是Sn=kan+1，（其中k是与n无关的常数，且k≠1）．（1）试写出用n，k表示的an的表达式；（2）若=1，求k的取值范围．15．（12分）正方形ABCD在直角坐标平面内，已知其一条边AB在直线y=x+4上，C，D在抛物线x=y2上，求正方形ABCD的面积．1987年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）设S，T是两个非空集合，且S⊈T，T⊈S，令X=S∩T，那么S∪X等于（）A．XB．TC．φD．S考点：并集及其运算．分析：根据交集的性质，易得X⊆S，进而由并集的性质，可得答案．解答：解：若X=S∩T，则有X⊆S，由并集的意义，易得S∪X=S，故选D．点评：本题考查交、并集的性质与相互关系，注意X=S∩T⇒X⊆S，S∪X=S⇒X⊆S，反之也成立．2．（3分）设椭圆方程为，令c2=a2﹣b2，那么它的准线方程为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先判断椭圆的焦点在x轴还是在y轴，再根据椭圆的性质可知椭圆的准线方程．解答：解：∵a＞b，∴椭圆的焦点在x轴，根据椭圆的性质可知椭圆的准线方程为故选C点评：本题主要考查了椭圆的性质．属基础题．3．（3分）设log34•log48•log8m=log416，那么m等于（）A．B．9C．18D．27考点：对数的运算性质．分析：根据换底公式知，log34•log48•log8m===2，即可得答案．解答：解：∵log34•log48•log8m===2∴lgm=2lg3=lg9∴m=9故选B．点评：本题主要考查对数运算中的换底公式的应用．4．（3分）复数sin40°﹣icos40°的辐角为（）A．40°B．140°C．220°D．310°考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：化简成复数的三角形式即可解答：解：原复数可化成sin140°+icos140°，故辐角为140°，选B．点评：注意到复数的三角形式为z=r（cosθ+isinθ）5．（3分）二次函数y=f（x）的图象如图所示，那么此函数为（）A．y=x2﹣4B．y=4﹣x2C．D．考点：函数的图象．专题：数形结合．分析：先看图象的开口方向，再看定点坐标，结合所给的选项选出正确的答案．解答：解：由二次函数的图象是抛物线，开口向下，顶点（0，3），结合所给的选项，故答案选C．点评：本题考查二次函数图象的特征．6．（3分）函数f（x）是R上以2为周期的奇函数，已知当x∈（0，1）时，f（x）=log2，则f（x）在区间（1，2）上是（）A．减函数，且f（x）＜0B．增函数，且f（x）＜0C．减函数，且f（x）＞0D．增函数，且f（x）＞0考点：函数的单调性及单调区间．专题：计算题．分析：欲求f（x）在区间（1，2）上的性质，可先求出其解析式，根据解析式研究性质．解答：解：设﹣1＜x＜0，则0＜﹣x＜1，∴f（﹣x）=log2，又f（x）=﹣f（﹣x），∴f（x）=log2（1+x），∴1＜x＜2时，﹣1＜x﹣2＜0，∴f（x）=f（x﹣2）=log2（x﹣1）．∴f（x）在区间（1，2）上是增函数，且f（x）＜0．故选B．点评：已知奇函数的一侧的解析式，可以求出其关于原点对称的另一侧的解析式，这是奇函数的一个重要应用．7．（3分）已知平面上一点P在原坐标系中的坐标为（0，m）（m≠0），而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为（m，0），那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为（A）A．（﹣m，m）B．（m，﹣m）C．（m，m）D．（﹣m，﹣m）考点：向量在几何中的应用．专题：压轴题；阅读型．分析：利用平移公式求出平移向量，再利用平移公式求出新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标．解答：解：设按向量，则新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为（k，l）则据平移公式故∴解得即新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为（﹣m，m）故选项为A点评：本题考查平移公式的应用．8．（3分）（2012•德阳二模）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平行移动B．向右平行移动C．向左平行移动D．向右平行移动考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：常规题型；压轴题．分析：假设将函数y=sin2x的图象平移ρ个单位得到，根据平移后，求出ρ进而得到答案．解答：解：假设将函数y=sin2x的图象平移ρ个单位得到y=sin2（x+ρ）=sin（2x+2ρ）=∴ρ=﹣∴应向右平移个单位故选D．点评：本题主要考查三角函数的平移．属基础题．二、解答题（共7小题，满分96分）9．（28分）已知方程表示双曲线，求λ的范围．考点：双曲线的标准方程；函数的定义域及其求法；极限及其运算；计数原理的应用；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：根据双曲线定义可知，要使方程表示双曲线2+λ和1+λ同号，进而求得λ的范围．解答：解：依题意可知（2+λ）（1+λ）＞0，求得λ＜﹣2或λ＞﹣1；故λ的范围为λ＜﹣2或λ＞﹣1．点评：本题主要考查了双曲线的标准方程．解题时要注意讨论焦点在x轴和y轴两种情况．10．（10分）发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数：IA=Isinωt，IB=Isin（ωt+120°），IC=Isin（ωt+240°），求IA+IB+IC的值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：利用两角和的正弦公式，把sin（ωt+120°）和sin（ωt+240°）展开后代入IA+IB+IC的式子进行化简．解答：解：IA+IB+IC=Isinωt+Isin（ωt+120°）+Isin（ωt+240°）=I[sinωt+sin（ωt+120°）+sin（ωt+240°）]==I•0=0．点评：本题考查两角和的正弦公式的应用以及特殊角的三角函数值．11．（12分）在复平面内，已知等边三角形的两个顶点所表示的复数分别为，求第三个顶点所表示的复数．考点：复数代数形式的混合运算．分析：设第三个顶点所表示的复数为z，因为是正三角形，三边长相等，即复数的模相等，夹角60°，化简求解．解答：解：设第三个顶点所表示的复数为z那么根据题意，z﹣2和的模相等，辐角差为，因而；，点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数的三角形式的运算，考查复数的模等知识，是难度较大，运算量大，易出错．12．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=L，PA，BC的公垂线ED=h．求证三棱锥P﹣ABC的体积V=L2h．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题．分析：由题意说明PAD是垂直边长的两个三棱锥的公共底面，求出其面积，再求体积即可．解答：证明：连接AD和PD∵BC⊥PA，BC⊥ED，PA与ED相交，∴BC⊥平面PAD，∵ED⊥PA，∴S△ABC=PA•ED=LhVB﹣PAD=（Lh）•BD=Lh•BD同理，VC﹣PAD=Lh•CD∴三棱锥P﹣ABC的体积V=Lh•BD+Lh•CD=Lh（BD+CD）=Lh•BC=L2h．若E，D不是分别在线段AP，BC上，结论仍成立．点评：本题考查学生空间想象能力，考查逻辑思维能力，棱锥的体积公式，是中档题．13．（10分）设对所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围．考点：其他不等式的解法；二次函数的性质．专题：计算题；转化思想．分析：本题是一元二次不等式x∈R恒成立问题，用判别式法转化为：再求解．解答：解：由题意得：令，则（3）式变为z2﹣（log28﹣z）（﹣2z）＜0，化简为z（6﹣z）＜0，解得z＞6或z＜0（4）（2）式变为log28﹣z＞0，即z＜3，（5）综合（4），（5）得z＜0，即，由此，（6）解（1），（6）得a取值范围：0＜a＜1．点评：本题主要考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题，解法是用判断式法，要注意其开口方向．14．（12分）设数列a1，a2，…，an，…的前n项的和Sn与an的关系是Sn=kan+1，（其中k是与n无关的常数，且k≠1）．（1）试写出用n，k表示的an的表达式；（2）若=1，求k的取值范围．考点：数列递推式；极限及其运算．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由前n项的和Sn与an的关系an+1=Sn+1﹣Sn，得到数列的递推公式，注意分析k是否为零，再求数列的通项公式．（2）利用极限的值和第（1）的结果，代入sn整理出关于k的式子，再求k的值．解答：解：（1）∵Sn=kan+1，∴an+1=Sn+1﹣Sn=（kan+1+1）﹣（kan+1），∴an+1=kan+1﹣kan，即（k﹣1）an+1=kan，∵若k≠0，则由题设知a1≠0，由（1）式易知an≠0，n≥1，∴故该数列是公比为的等比数列，其首项为∴当k=0时，由（1）式知an=0，上式当n≥1时对k=0也成立．（2）若，即，，∴∴k的范围：k＜点评：本题由前n项和公式和sn和an的关系式，求出递推公式，然后求数列的通项公式；再由所给的极限值求k的范围．15．（12分）正方形ABCD在直角坐标平面内，已知其一条边AB在直线y=x+4上，C，D在抛物线x=y2上，求正方形ABCD的面积．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．分析：根据C，D两点在抛物线上可设出C，D的坐标，根据直线A，B的方程可知AB与y轴成的夹角，进而推断出角线AC与边AB也成450角，进而推断出AC∥y轴，和BD∥x轴，设出A，B的坐标，根据AB∥CD，对角线AC，BD互相垂直平分，联立方程求得s和t，则正方形ABCD的面积可求得．解答：解：∵C，D两点在抛物线上，∴可设C（s2，s），D（t2，，t），又∵A，B在直线y=x+4上，∴AB与y轴成450角，∵四边形ABCD为正方形，∴对角线AC与边AB也成450角，∴AC∥y轴，同理BD∥x轴，∴可设A（s2，