1987年全国统一高考数学试卷(理科)

1987年全国统一高考数学试卷（理科）菁优网©2010-2014菁优网1987年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）设S，T是两个非空集合，且S∉T，T∉S，令X=S∩T，那么S∪X等于（）A．XB．TC．φD．S2．（3分）设椭圆方程为，令c2=a2﹣b2，那么它的准线方程为（）A．B．C．D．3．（3分）设a、b是满足ab＜0的实数，那么（）A．|a+b|＞|a﹣b|B．|a+b|＜|a﹣b|C．|a﹣b|＜||a|﹣|b||D．|a﹣b|＜|a|+|b|4．（3分）已知E，F，G，H为空间中的四个点，设命题甲：点E，F，G，H不共面，命题乙：直线EF和GH不相交那么（）A．甲是乙的充分条件，但不是必要条件B．甲是乙的必要条件，但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲不是乙的充分条件，也不是乙必要条件5．（3分）函数f（x）是R上以2为周期的奇函数，已知当x∈（0，1）时，f（x）=log2，则f（x）在区间（1，2）上是（）A．减函数，且f（x）＜0B．增函数，且f（x）＜0C．减函数，且f（x）＞0D．增函数，且f（x）＞06．（3分）（2012•德阳二模）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平行移动B．向右平行移动C．向左平行移动D．向右平行移动7．（3分）极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是（）A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线8．（3分）函数y=arccos（cosx）的图象是（）A．B．C．D．菁优网©2010-2014菁优网二、解答题（共14小题，满分96分）9．（4分）求函数的周期．10．（4分）已知方程表示双曲线，求λ的范围．11．（4分）若（1+x）n的展开式中，x3的系数等于x的系数的7倍，求n．12．（4分）求极限13．（4分）在抛物线y=4x2上求一点，使这点到直线y=4x﹣5的距离最短．14．（4分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数，求这种五位数的个数．15．（4分）一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm，而侧面积等于两底面积之差，求斜高．16．（10分）求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．17．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=L，PA，BC的公垂线ED=h．求证三棱锥P﹣ABC的体积V=L2h．18．（12分）设对所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围．19．（12分）设复数z1和z2满足关系式，其中A为不等于0的复数．证明：（1）|z1+A||z2+A|=|A|2；（2）菁优网©2010-2014菁优网20．（12分）设数列a1，a2，…，an，…的前n项的和Sn与an的关系是，其中b是与n无关的常数，且b≠﹣1．（1）求an和an﹣1的关系式；（2）写出用n和b表示an的表达式；（3）当0＜b＜1时，求极限．21．（10分）定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标．22．（1）求极限．（2）设y=xln（1+x2），求y'菁优网©2010-2014菁优网1987年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）设S，T是两个非空集合，且S∉T，T∉S，令X=S∩T，那么S∪X等于（）A．XB．TC．φD．S考点：并集及其运算．5008052分析：根据交集的性质，易得X⊆S，进而由并集的性质，可得答案．解答：解：若X=S∩T，则有X⊆S，由并集的意义，易得S∪X=S，故选D．点评：本题考查交、并集的性质与相互关系，注意X=S∩T⇒X⊆S，S∪X=S⇒X⊆S，反之也成立．2．（3分）设椭圆方程为，令c2=a2﹣b2，那么它的准线方程为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．5008052专题：计算题．分析：先判断椭圆的焦点在x轴还是在y轴，再根据椭圆的性质可知椭圆的准线方程．解答：解：∵a＞b，∴椭圆的焦点在x轴，根据椭圆的性质可知椭圆的准线方程为故选C点评：本题主要考查了椭圆的性质．属基础题．3．（3分）设a、b是满足ab＜0的实数，那么（）A．|a+b|＞|a﹣b|B．|a+b|＜|a﹣b|C．|a﹣b|＜||a|﹣|b||D．|a﹣b|＜|a|+|b|考点：基本不等式．5008052分析：选择题无需证明，想到取特殊值进行验证，答案便知．解答：解：用赋值法．令a=1，b=﹣1，代入检验；A选项为0＞2不成立，C选项为2＜0不成立，D选项为2＜2不成立，故选B．点评：对于有些问题，若能根据其具体情况，合理地、巧妙地对某些元素赋值，特别是赋予确定的特殊值（如0，1，﹣1等），往往能使问题获得简捷有效的解决．4．（3分）已知E，F，G，H为空间中的四个点，设命题甲：点E，F，G，H不共面，命题乙：直线EF和GH不相交菁优网©2010-2014菁优网那么（）A．甲是乙的充分条件，但不是必要条件B．甲是乙的必要条件，但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲不是乙的充分条件，也不是乙必要条件考点：空间中直线与直线之间的位置关系．5008052分析：由甲推导乙，判断是否成立；然后由乙推导甲，再判断是否成立．则问题解决．解答：解：点E，F，G，H不共面⇒直线EF和GH不相交，（因为若直线EF和GH相交，则点E，F，G，H共面．）；反之，若直线EF和GH不相交，则直线EF和GH可能异面、也可能平行．若直线EF和GH平行，则点E，F，G，H共面．所以甲是乙的充分条件，但不是必要条件．故选A．点评：本题考查空间中两直线的位置关系及如何由线定面，同时考查充分条件和必要条件的含义．5．（3分）函数f（x）是R上以2为周期的奇函数，已知当x∈（0，1）时，f（x）=log2，则f（x）在区间（1，2）上是（）A．减函数，且f（x）＜0B．增函数，且f（x）＜0C．减函数，且f（x）＞0D．增函数，且f（x）＞0考点：函数的单调性及单调区间．5008052专题：计算题．分析：欲求f（x）在区间（1，2）上的性质，可先求出其解析式，根据解析式研究性质．解答：解：设﹣1＜x＜0，则0＜﹣x＜1，∴f（﹣x）=log2，又f（x）=﹣f（x），∴f（x）=log2（1+x），∴1＜x＜2时，﹣1＜x＜﹣2＜0，∴f（x）=f（x﹣2）=log2（x﹣1）．∴f（x）在区间（1，2）上是增函数，且f（x）＜0．故选B．点评：已知奇函数的一侧的解析式，可以求出其关于原点对称的另一侧的解析式，这是奇函数的一个重要应用．6．（3分）（2012•德阳二模）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平行移动B．向右平行移动C．向左平行移动D．向右平行移动考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．5008052专题：常规题型；压轴题．分析：假设将函数y=sin2x的图象平移ρ个单位得到，根据平移后，求出ρ进而得到答案．解答：解：假设将函数y=sin2x的图象平移ρ个单位得到y=sin2（x+ρ）=sin（2x+2ρ）=∴ρ=﹣∴应向右平移个单位菁优网©2010-2014菁优网故选D．点评：本题主要考查三角函数的平移．属基础题．7．（3分）极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是（）A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线考点：简单曲线的极坐标方程．5008052专题：计算题；压轴题．分析：先将原极坐标方程两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断．解答：解：原极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ化为：ρ2=ρsinθ+2ρcosθ，∴x2+y2=x+2y，它表示圆，故选B．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．8．（3分）函数y=arccos（cosx）的图象是（）A．B．C．D．考点：反三角函数的运用．5008052专题：计算题；作图题；压轴题．分析：结合题意，分别求出和时的函数，然后可得正确选项．解答：解：，y=arccos（cosx）=x当，y=arccos（cosx）=﹣x所以函数图象如图故选A．点评：本题考查反三角函数的应用，函数的表示方法，是基础题．二、解答题（共14小题，满分96分）9．（4分）求函数的周期．考点：三角函数的周期性及其求法．5008052菁优网©2010-2014菁优网专题：计算题．分析：解析：正切函数的周期可应用公式T=来求解即可．解答：解：由正切函数周期公式得T==故函数的周期为点评：本题主要考查正切函数的周期性和周期的求法，属于非常基础的题型，难度系数为0.9．10．（4分）已知方程表示双曲线，求λ的范围．考点：双曲线的标准方程；函数的定义域及其求法；极限及其运算；计数原理的应用；二项式系数的性质．5008052专题：计算题．分析：根据双曲线定义可知，要使方程表示双曲线2+λ和1+λ同号，进而求得λ的范围．解答：解：依题意可知（2+λ）（1+λ）＞0，求得λ＜﹣2或λ＞﹣1；故λ的范围为λ＜﹣2或λ＞﹣1．点评：本题主要考查了双曲线的标准方程．解题时要注意讨论焦点在x轴和y轴两种情况．11．（4分）若（1+x）n的展开式中，x3的系数等于x的系数的7倍，求n．考点：二项式系数的性质；二项式定理的应用．5008052专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令r=3，r=1得x3，x的系数，列出方程解得．解答：解：（1+x）n的展开式的通项为Tr+1=Cnrxr故x3的系数为Cn3，x的系数为Cn1∴Cn3=7Cn1∴n=8故n=8点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．12．（4分）求极限考点：极限及其运算．5008052专题：计算题．分析：利用等差数列求和公式把转化为，即，由此可知的值．解答：解：菁优网©2010-2014菁优网===2．点评：本题考查数列的极限，解题时要注意等差数列前n项和的应用．13．（4分）在抛物线y=4x2上求一点，使这点到直线y=4x﹣5的距离最短．考点：点到直线的距离公式．5008052专题：计算题．分析：根据抛物线的方程设出点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式表示出点P到直线y=4x﹣5的距离d，利用二次函数求最值的方法得到所求点P的坐标即可．解答：解：设点P（t，4t2），点P到直线y=4x﹣5的距离为d，则，当时，d取得最小值，此时为所求的点．点评：此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握二次函数求最值的方法，是一道中档题．14．（4分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数，求这种五位数的个数．考点：排列、组合及简单计数问题．5008052分析：由题意知组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数，可以采用插空法，，首先将除去1和2的三个数字全排列，再在这三个数字形成的四个空上选两个位置排列1和2，再用分步乘法得到结果．解答：解：由题意知组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数，可以采用插空法，首先将除去1和2的三个数字全排列，有A33种结果，再在这三个数字形成的四个空上选两个位置排列1和2，共有A42种结果根据分步计数原理知共有A33A42=72种结果，点评：本题是一个简单计数问题，解题过程中要用到排列和分步计数原理，数字问题是计数中经常出现的题目，可以借助于排列数和组合数来表示．15．（4分）一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm，而侧面积等于两底面积之差，求斜高．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．5008052专题：计算题．分析：因为几何体为正三棱台，可知