1993高考数学试卷理科

1993年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共68分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共17小题；每小题4分，共68分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的奎屯王新敞新疆(1)函数f(x)=sinx+cosx的最小正周期是()(A)2π(B)22(C)π(D)4(2)如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为()(A)23(B)23(C)26(D)2(3)和直线3x－4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为()(A)3x+4y－5=0(B)3x+4y+5=0(C)－3x+4y－5=0(D)－3x+4y+5=0(4)极坐标方程cos534所表示的曲线是()(A)焦点到准线距离为54的椭圆(B)焦点到准线距离为54的双曲线右支(C)焦点到准线距离为34的椭圆(D)焦点到准线距离为34的双曲线右支(5)53xy在[－1，1]上是()(A)增函数且是奇函数(B)增函数且是偶函数(C)减函数且是奇函数(D)减函数且是偶函数(6)5215lim22nnnn的值为()(A)51(B)25(C)51(D)25(7)集合}24|{}42|{ZkkxxNZkkxxM，，，，则()(A)M=N(B)NM(C)NM(D)NMØ(8)sin20ºcos70º+sin10ºsin50º的值是()(A)41(B)23(C)21(D)43(9)参数方程sin1212sin2cosyx20表示()(A)双曲线的一支，这支过点211，(B)抛物线的一部分，这部分过211，(C)双曲线的一支，这支过点211，(D)抛物线的一部分，这部分过211，(10)若a、b是任意实数，且ab，则()(A)a2b2(B)1ab(C)lg(a－b)0(D)ba2121(11)一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2－8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为()(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线(12)圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是()(A)36l(B)3291l(C)34l(D)342l(13)(x+1)4(x－1)5展开式中x4的系数为()(A)－40(B)10(C)40(D)45(14)直角梯形的一个内角为45º，下底长为上底长的23，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5+2)π，则旋转体的体积为()(A)2π(B)324(C)325(D)37(15)已知a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列，公式q≠1，则()(A)a1+a8a4+a5(B)a1+a8a4+a5(C)a1+a8=a4+a5(D)a1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定(16)设有如下三个命题：甲：相交两直线l，m都在平面α内，并且都不在平面β内．乙：l，m之中至少有一条与β相交．丙：α与β相交．当甲成立时()(A)乙是丙的充分而不必要的条件(B)乙是丙的必要而不充分的条件(C)乙是丙的充分且必要的条件(D)乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件(17)将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有()(A)6种(B)9种(C)11种(D)23种第Ⅱ卷(非选择题共82分)注意事项：1．第Ⅱ卷6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中，不要在答题卡上填涂．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题；每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．(18)31arccos21arccossin=________________奎屯王新敞新疆(19)若双曲线222249kykx=1与圆x2+y2=1没有公共点，则实数k的取值范围为_________________奎屯王新敞新疆(20)从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有______________种取法(用数字作答)．(21)设f(x)=4x－2x+1，则f－1(0)=_____________奎屯王新敞新疆(22)建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池．如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________________元奎屯王新敞新疆(23)如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为__________度奎屯王新敞新疆三、解答题：本大题共5小题；共58分．解题应写出文字说明、演算步骤．(24)(本小题满分10分)已知f(x)=logaxx11(a0，a≠1)．(Ⅰ)求f(x)的定义域；(Ⅱ)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(Ⅲ)求使f(x)0的x取值范围．(25)(本小题满分12分)已知数列.1212853283118222222，，，，nnnSn为其前n项和．计算得.818049482524984321SSSS，，，观察上述结果，推测出计算Sn的公式，并用数学归纳法加以证明．(26)(本小题满分12分)已知：平面α∩平面β=直线a．α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．求证：(Ⅰ)a⊥γ；(Ⅱ)b⊥γ．(27)(本小题满分12分)在面积为1的△PMN中，tg∠PMN=21，tg∠MNP=－2．建立适当的坐标系，求以M，N为焦点且过点P的椭圆方程．(28)(本小题满分12分)设复数0sincosiz，4411zz，并且33，2arg，求θ．1993年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明：1．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分68分．(1)A(2)C(3)B(4)B(5)A(6)D(7)C(8)A(9)B(10)D(11)C(12)A(13)D(14)D(15)A(16)C(17)B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．(18)6322(19){k||k|31}(20)100(21)1(22)1760(23)30三、解答题(24)本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力．满分12分．解(Ⅰ)由对数函数的定义知011xx．——1分如果0101xx，则－1x1；如果0101xx，则不等式组无解．——4分故f(x)的定义域为(－1，1)(Ⅱ)∵xfxxxxxfaa11log11log，∴f(x)为奇函数．——6分(Ⅲ)(ⅰ)对a1，loga011xx等价于111xx，①而从(Ⅰ)知1－x0，故①等价于1+x1－x，又等价于x0．故对a1，当x∈(0，1)时有f(x)0．——9分(ⅱ)对0a1，loga011xx等价于0111xx．②而从(Ⅰ)知1－x0，故②等价于－1x0．故对0a1，当x∈(－1，0)时有f(x)0．——12分(25)本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．满分10分．解NnnnSn2212112．——4分证明如下：(Ⅰ)当n=1时，98313221S，等式成立．——6分(Ⅱ)设当n=k时等式成立，即.1211222kkSk——7分则221321218kkkSSkk222232121812112kkkkk222232121832]112[kkkkk22222321218323212kkkkkk222223212123212kkkkk2232132kk22]112[1]112[kk由此可知，当n=k+1时等式也成立．——9分根据(Ⅰ)(Ⅱ)可知，等式对任何n∈N都成立．——10分(26)本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识，及空间想象能力和逻辑思维能力．满分12分．证法一(Ⅰ)设α∩γ=AB，β∩γ=AC．在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC．——1分∵γ⊥α，∴PM⊥α．而aα，∴PM⊥a．同理PN⊥a．——4分又PMγ，PNγ，∴a⊥γ．——6分(Ⅱ)于a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2．——7分∵b∥α，∴b∥a1．同理b∥a2．——8分∵a1，a2同过Q且平行于b，∵a1，a2重合．又a1α，a2β，∴a1，a2都是α、β的交线，即都重合于a．——10分∵b∥a1，∴b∥a．而a⊥γ，∴b⊥γ．——12分注：在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分．证法二(Ⅰ)在a上任取一点P，过P作直线a′⊥γ．——1分∵α⊥γ，P∈α，∴a′α．同理a′β．——3分可见a′是α，β的交线．因而a′重合于a．——5分又a′⊥γ，∴a⊥γ．——6分(Ⅱ)于α内任取不在a上的一点，过b和该点作平面与α交于直线c．同法过b作平面与β交于直线d．——7分∵b∥α，b∥β．∴b∥c，b∥d．——8分又cβ，dβ，可见c与d不重合．因而c∥d．于是c∥β．——9分∵c∥β，cα，α∩β=a，∴c∥a．——10分∵b∥c，a∥c，b与a不重合(bα，aα)，∴b∥a．——11分而a⊥γ，∴b⊥γ．——12分注：在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分．(27)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．满分12分．解法一如图，以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设以M，N为焦点且过点P的椭圆方程为12222byax，焦点为M(－c，0)，N(c，0)．—1分由tgM=21，tgα=tg(π－∠MNP)=2，得直线PM和直线PN的方程分别为y=21(x+c)和y=2(x－c)．将此二方程联立，解得x=35c，y=34c，即P点坐标为(35c，34c)．——5分在△MNP中，|MN|=2c，MN上的高为点P的纵坐标，故.34342212cccSMNP由题设条件S△MNP=1，∴c=23，即P点坐标为332635，．——7分由两点间的距离公式3152332236352222ycxPM，315332236352222ycxPN．得