1988年全国高中数学联赛试题及解答

1988年全国高中数学联赛冯惠愚-1-1988年全国高中数学联赛试题第一试(10月16日上午8∶00——9∶30)一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是()A．y=－φ(x)B．y=－φ(－x)C．y=－φ－1(x)D．y=－φ－1(－x)2．已知原点在椭圆k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的内部，那么参数k的取值范围是()A．|k|1B．|k|≠1C．－1k1D．0|k|13．平面上有三个点集M，N，P：M={(x，y)||x|+|y|1}，N={(x，y)|(x－12)2+(y+12)2+(x+12)2+(y－12)222}，P={(x，y)||x+y|1，|x|1，|y|1}．则A．MPNB．MNPC．PNMD．A、B、C都不成立4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有命题甲：θπ3；命题乙：a、b、c相交于一点．则A．甲是乙的充分条件但不必要B．甲是乙的必要条件但不充分C．甲是乙的充分必要条件D．A、B、C都不对5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式⑴M∪N∪P=I；⑵N≠Ø．⑶M≠Ø．⑷P≠Ø中，正确的表达式的个数是A．1B．2C．3D．4二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么b4－b3a2－a1=．2．(x+2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为．3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则DEBC=．4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过1988年全国高中数学联赛冯惠愚-2-程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为．三．(15分)长为2，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积．四．(15分)复平面上动点Z1的轨迹方程为|Z1－Z0|=|Z1|，Z0为定点，Z0≠0，另一个动点Z满足Z1Z=－1，求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置．五．(15分)已知a、b为正实数，且1a+1b=1，试证：对每一个n∈N*，(a+b)n－an－bn≥22n－2n+1．1988年全国高中数学联赛冯惠愚-3-1988年全国高中数学联赛二试题一．已知数列{an}，其中a1=1，a2=2，an+2=5an+1－3an(an·an+1为偶数)，an+1－an(an·an+1为奇数)．试证：对一切n∈N*，an≠0．二．如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：SPQRSABC29．三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，……，ln，…的直线族，它满足条件：NACBPQRH1988年全国高中数学联赛冯惠愚-4-⑴点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；⑵kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，……)；⑶knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)．并证明你的结论．1988年全国高中数学联赛冯惠愚-5-1988年全国高中数学联赛解答一试题一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是()A．y=－φ(x)B．y=－φ(－x)C．y=－φ－1(x)D．y=－φ－1(－x)解：第二个函数是y=φ－1(x)．第三个函数是－x=φ－1(－y)，即y=－φ(－x)．选B．2．已知原点在椭圆k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的内部，那么参数k的取值范围是()A．|k|1B．|k|≠1C．－1k1D．0|k|1解：因是椭圆，故k≠0，以(0，0)代入方程，得k2－10，选D．3．平面上有三个点集M，N，P：M={(x，y)||x|+|y|1}，N={(x，y)|(x－12)2+(y+12)2+(x+12)2+(y－12)222}，P={(x，y)||x+y|1，|x|1，|y|1}．则A．MPNB．MNPC．PNMD．A、B、C都不成立解：M表示以(1，0)，(0．1)，(－1，0)，(0，－1)为顶点的正方形内部的点的集合(不包括边界)；N表示焦点为(12，－12)，(－12，12)，长轴为22的椭圆内部的点的集合，P表示由x+y=±1，x=±1，y=±1围成的六边形内部的点的集合．故选A．4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有命题甲：θπ3；命题乙：a、b、c相交于一点．则A．甲是乙的充分条件但不必要B．甲是乙的必要条件但不充分C．甲是乙的充分必要条件D．A、B、C都不对解：a，b，c或平行，或交于一点．但当a∥b∥c时，θ=π3．当它们交于一点时，π3θπ．选C．5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式⑴M∪N∪P=I；⑵N≠Ø．⑶M≠Ø．⑷P≠Ø中，正确的表达式的个数是A．1B．2C．3D．41988年全国高中数学联赛冯惠愚-6-解：均正确，选D．二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么b4－b3a2－a1=．解：a2－a1=14(y－x)，b4－b3=23(y－x)，b4－b3a2－a1=83．2．(x+2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为．解：(x+2)2n+1－(x－2)2n+1=2(C12n+12xn+C32n+123xn－1+C52n+125xn－2+…+C2n+12n+122n+1)．令x=1，得所求系数和=12(32n+1+1)．3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则DEBC=．解：△AED∽△ABC，DEBC=ADAC=|cosα|．4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为．解画1行14个格子，每个格子依次代表一场比赛，如果某场比赛某人输了，就在相应的格子中写上他的顺序号(两方的人各用一种颜色写以示区别)．如果某一方7人都已失败则在后面的格子中依次填入另一方未出场的队员的顺序号．于是每一种比赛结果都对应一种填表方法，每一种填表方法对应一种比赛结果．这是一一对应关系．故所求方法数等于在14个格子中任选7个写入某一方的号码的方法数．∴共有C714种比赛方式．三．(15分)长为2，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积．解：过轴所在对角线BD中点O作MN⊥BD交边AD、BC于M、N，作AE⊥BD于E，则△ABD旋转所得旋转体为两个有公共底面的圆锥，底面半径AE=23=63．其体积V=π3(63)2·3=239π．同样，△BCD旋转所得旋转体的体积=239π．其重叠部分也是两个圆锥，由△DOM∽△DAB，DO=32，OM=DO·ABDA=64．∴其体积=2·13π·(64)2·32=38π．ONMEBCDA1988年全国高中数学联赛冯惠愚-7-∴所求体积=2·239π－38π=23723π．四．(15分)复平面上动点Z1的轨迹方程为|Z1－Z0|=|Z1|，Z0为定点，Z0≠0，另一个动点Z满足Z1Z=－1，求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置．解：Z1=－1Z，故得|－1Z－Z0|=|1Z|，即|ZZ0+1|=1．|Z+1Z0|=|1Z0|．即以－1Z0为圆心|1Z0|为半径的圆．五．(15分)已知a、b为正实数，且1a+1b=1．试证：对每一个n∈N*，(a+b)n－an－bn≥22n－2n+1．证明：由已知得a+b=ab．又a+b≥2ab，∴ab≥2ab，故a+b=ab≥4．于是(a+b)k=(ab)k≥22k．又ak+bk≥2akbk=2(a+b)k≥2k+1．下面用数学归纳法证明：1°当n=1时，左=右=0．左≥右成立．2°设当n=k(k≥1，k∈N)时结论成立，即(a+b)k－ak－bk≥22k－2k+1成立．则(a+b)k+1－ak+1－bk+1=(a+b)(a+b)k－(ak+bk)(a+b)+ab(ak－1+bk－1)=(a+b)[(a+b)k－ak－bk]+ab(ak－1+bk－1)≥4∙(22k－2k+1)+4∙2k=22(k+1)－4∙2k+1+4∙2k=22(k+1)－2(k+1)+1．即命题对于n=k+1也成立．故对于一切n∈N*，命题成立．二试题一．已知数列{an}，其中a1=1，a2=2，an+2=5an+1－3an(an·an+1为偶数)，an+1－an(an·an+1为奇数)．试证：对一切n∈N*，an≠0．（1988年全国高中竞赛试题）分析：改证an≢0(mod4)或an≢0(mod3)．证明：由a1=1，a2=2，得a3=7，a4=29，……∴a1≡1，a2≡2，a3≡3(mod4)．设a3k－2≡1，a3k－1≡2，a3k≡3(mod4)．则a3k+1≡5×3－3×2=9≡1(mod4)；a3k+2≡1－3=－2≡2(mod4)；a3k+3≡5×2－3×1=7≡3(mod4)．根据归纳原理知，对于一切n∈N，a3n－2≡1，a3n－1≡2，a3n≡3(mod4)恒成立，故an≢0(mod4)成立，从而an≠0．又证：a1≡1，a2≡2(mod3)．设a2k－1≡1，a2k≡2(mod3)成立，则当a2k－1∙a2k为偶数时a2k+1≡5×2－3×1≡1(mod3)，当a2k－1∙a2k为奇数时a2k+1≡2－1≡1(mod3)，总之1988年全国高中数学联赛冯惠愚-8-a2k+1≡1(mod3)．当a2k∙a2k+1为偶数时a2k+2≡5×1－3×2≡2(mod3)，当a2k∙a2k+1为奇数时a2k+2≡1－2≡2(mod3)，总之，a2k+2≡2(mod3)．于是an≢0(mod3)．故an≠0．二．如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：SPQRSABC29．证明：作△ABC及△PQR的高CN、RH．设△ABC的周长为1．则PQ=13．则SPQRSABC=PQ·RHAB·CN=PQAB·ARAC，但AB12，于是PQAB23，AP≤AB－PQ12－13=16，∴AR=13－AP16，AC12，故ARAC13，从而SPQRSABC29．三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，……，ln，…的直线族，它满足条件：⑴点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；⑵kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，……)；⑶knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)．并证明你的结论．证明：设an=bn≠0，即kn－1=－1，或an=bn=0，即kn=1，就有k