1989年全国统一高考数学试卷(文科)

1989年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）（2000•北京）如果I={a，b，c，d，e}，M={a，c，d}，N={b，d，e}，其中I是全集，那么（CIM）∩（CIN）等于（）A．φB．{d}C．{a，c}D．{b，e}2．（3分）与函数y=x有相同图象的一个函数是（）A．B．C．y=alogax．其中a＞0，a≠1D．y=logaax．其中a＞0，a≠13．（3分）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（）A．B．C．D．4．（3分）已知{an}是等比数列，如果a1+a2+a3=18，a2+a3+a4=﹣9，Sn=a1+a2+…+an，那么Sn的值等于（）A．8B．16C．32D．485．（3分）如果（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，那么a1+a2+…+a7的值等于（）A．﹣2B．﹣1C．0D．26．（3分）如果的值等于（）A．B．C．D．7．（3分）直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线是（）A．3x﹣2y+2=0B．2x+3y+7=0C．3x﹣2y﹣12=0D．2x+3y+8=08．（3分）已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（）A．4B．3C．2D．59．（3分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（）A．60个B．48个C．36个D．24个10．（3分）如果双曲线上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的右准线的距离是（）A．10B．C．D．11．（3分）如果最小值是（）A．B．C．﹣1D．12．（3分）已知f（x）=8+2x﹣x2，如果g（x）=f（2﹣x2），那么g（x）（）A．在区间（﹣1，0）上是减函数B．在区间（0，1）上是减函数C．在区间（﹣2，0）上是增函数D．在区间（0，2）上是增函数二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．（4分）给定三点A（1，0），B（﹣1，0），C（1，2），那么通过点A并且与直线BC垂直的直线方程_________．14．（4分）（2010•焦作二模）不等式|x2﹣3x|＞4的解集是_________．15．（4分）函数的反函数的定义域是_________．16．（4分）已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的_________条件17．（4分）已知0＜a＜1，0＜b＜1，如果＜1，那么x的取值范围为_________．18．（4分）如图，P是二面角α﹣AB﹣β棱AB上的一点，分别在α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α﹣AB﹣β的大小是_________．三、解答题（共6小题，满分60分）19．（8分）设复数，求z的模和辐角的主值．20．（8分）证明：．21．（10分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=．（Ⅰ）求证：顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上；（Ⅱ）求这个平行六面体的体积．22．（10分）用数学归纳法证明（1•22﹣2•32）+（3•42﹣4•52）+…+[（2n﹣1）（2n）2﹣2n（2n+1）2]=﹣n（n+1）（4n+3）．23．（12分）已知a＞0，a≠1，试求使方程有解的k的取值范围．24．（12分）给定椭圆方程，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大，并求相应的四边形的顶点坐标．1989年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）（2000•北京）如果I={a，b，c，d，e}，M={a，c，d}，N={b，d，e}，其中I是全集，那么（CIM）∩（CIN）等于（）A．φB．{d}C．{a，c}D．{b，e}考点：交、并、补集的混合运算．分析：根据交集、补集的意义直接求解．或者根据（CIM）∩（CIN）=CI（M∪N）求解．解答：解：CIM={b，e}，CIN={a，c}，∴（CIM）∩（CIN）=∅，故选A点评：本题考查集合的基本运算，较容易．2．（3分）与函数y=x有相同图象的一个函数是（）A．B．C．y=alogax．其中a＞0，a≠1D．y=logaax．其中a＞0，a≠1考点：反函数．分析：欲寻找与函数y=x有相同图象的一个函数，只须考虑它们与y=x是不是定义域与解析式都相同即可．解答：解：对于A，它的定义域为R，但是它的解析式为y=|x|与y=x不同，故错；对于B，它的定义域为x≠0，与y=x不同，故错；对于C，它的定义域为x＞0，与y=x不同，故错；对于D，它的定义域为R，解析式可化为y=x与y=x同，故正确；故选D．点评：本题主要考查了函数的概念、函数的定义域等，属于基础题．3．（3分）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题．分析：根据圆锥的侧面积公式直接解答即可．解答：解：圆锥的底面半径为，高为2，母线长为：，那么它的侧面积：故选C．点评：本题考查圆锥的侧面积和表面积，是基础题、必会题．4．（3分）已知{an}是等比数列，如果a1+a2+a3=18，a2+a3+a4=﹣9，Sn=a1+a2+…+an，那么Sn的值等于（）A．8B．16C．32D．48考点：极限及其运算；等比数列的前n项和；等比数列的性质．专题：计算题．分析：由题意知，所以，Sn=．解答：解：∵a1+a1q+a1q2=18，a1q+a1q2+a1q3=﹣9，∴．∴，∴Sn=．故选B．点评：本题考查等比数列的计算和极限，解题时要正确选取公式，注意公式的灵活运用．5．（3分）如果（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，那么a1+a2+…+a7的值等于（）A．﹣2B．﹣1C．0D．2考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：本题由于是求二项式展开式的系数之和，故可以令二项式中的x=1，又由于所求之和不含a0，令x=0，可求出a0的值，代入即求答案．解答：解：令x=1代入二项式（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7得，（1﹣2）7=a0+a1+…+a7=﹣1，令x=0得a0=1∴1+a1+a2+…+a7=﹣1∴a1+a2+…+a7=﹣2故选择A点评：本题主要考查二项式定理的应用，一般再求解有二项式关系数的和等问题时通常会将二项式展开式中的未知数x赋值为1或0或者是﹣1进行求解．本题属于基础题型．6．（3分）如果的值等于（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦．分析：由题目中给出的角θ的范围，确定余弦值，用余弦表示sin，求出结果，容易出错的地方是，要求结果的正负，要用角的范围帮助分析解答：解：∵，∴，∵∴或，∵，∴，故选C点评：已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的半角或二倍角的三角函数值，要用到二倍角公式．7．（3分）直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线是（）A．3x﹣2y+2=0B．2x+3y+7=0C．3x﹣2y﹣12=0D．2x+3y+8=0考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．分析：直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线，和直线2x+3y﹣6=0平行，排除A、C，在直线2x+3y﹣6=0选特殊点，关于点（1，﹣1）对称点求出，验证B即可得到答案．解答：解：直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线，和直线2x+3y﹣6=0平行，排除A、C，在直线2x+3y﹣6=0选特殊点（0，2），它关于点（1，﹣1）对称点（2，﹣4），显然（2，﹣4）不在2x+3y+7=0上．故选D．点评：选择题的解法，灵活多样，本题用排除、特值、验证的方法解答．本题是基础题．8．（3分）已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（）A．4B．3C．2D．5考点：球面距离及相关计算．专题：计算题．分析：画出图形，求出两个截面圆的半径，即可解答本题．解答：解：由题意画轴截面图，截面的面积为5π，半径为，截面的面积为8π的圆的半径是，设球心到大截面圆的距离为d，球的半径为r，则5+（d+1）2=8+d2，∴d=1，∴r=3故选B．点评：本题考查球的截面圆的半径，球的半径，球心到截面圆心的距离的关系，是基础题．9．（3分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（）A．60个B．48个C．36个D．24个考点：分步乘法计数原理．分析：偶数即个位数字只能是2或4解答：解：偶数即个位数字只能是2或4，其它位置任意排放共有C21•A44=2×4×3×2×1=48个故选B点评：分步乘法计数原理的理解，偶数怎样选，注意没有0；当然也可以用概率解答．10．（3分）如果双曲线上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的右准线的距离是（）A．10B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线的第二定义可知点P到双曲线右焦点的距离和点P到它的右准线的距离之比等于离心率，由此可以求出点P到它的右准线的距离．解答：解：设点P到它的右准线的距离是x，∵，∴，解得．故点P到它的右准线的距离是．故选D．点评：本题考查双曲线的第二定义，解题时注意认真审题．11．（3分）如果最小值是（）A．B．C．﹣1D．考点：函数的值域；同角三角函数基本关系的运用．专题：压轴题．分析：由|x|，可进一步得到sinx的范围，借助二次函数求最值的配方法，就可以确定出函数的最小值．解答：解：函数f（x）=cos2x+sinx=1﹣sin2x+sinx=∵|x|≤，∴∴∴时，故选D．点评：本题有两点值得注意：（1）sin2x+cos2x=1（2）求函数最值的有效方法之一是函数思想，即求最值建函数．12．（3分）已知f（x）=8+2x﹣x2，如果g（x）=f（2﹣x2），那么g（x）（）A．在区间（﹣1，0）上是减函数B．在区间（0，1）上是减函数C．在区间（﹣2，D．在区间（0，2）0）上是增函数上是增函数考点：复合函数的单调性．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：先求出g（x）的表达式，然后确定它的区间的单调性，即可确定选项．解答：解：因为f（x）=8+2x﹣x2，则g（x）=f（2﹣x2）=8+2x2﹣x4=﹣（x2﹣1）2+9，因为g′（x）=﹣4x3+4x，x∈（﹣1，0），g′（x）＜0，g（x）在区间（﹣1，0）上是减函数．故选A．点评：本题考查复合函数的单调性，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．（4分）给定三点A（1，0），B（﹣1，0），C（1，2），那么通过点A并且与直线BC垂直的直线方程x+y﹣1=0．考点：直线的点斜式方程．分析：先求得斜率，再用点斜式求得方程．解答：解：k=﹣∴过点A的直线方程：y=﹣（x﹣1）即：x+y﹣1=0故答案是x+y﹣1=0点评：本题主要考查如何求解直线方程．14．（4分）（2010•焦作二模）不等式|x2﹣3x|＞4的解集是{x|x＜﹣1，或x＞4}．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：用绝对值的意义将绝对值不等式转化为一般不等式求解．解答：解：∵|x2﹣3x|＞4∴x2﹣3x＞4或x2﹣3x＜﹣4由x2﹣3x＞4解得x＜﹣1或x＞4，x2﹣3x＜﹣4无解∴不等式|x2﹣3x|＞4的解集是{x|x＜﹣1或x＞4}故应填{x|x＜﹣1或x＞4}点评：考查绝对值不等式的解法，用绝对值的几何意义来进行转化．15．（4分）函数的反函数的定义域是（﹣1，1）．考点：反函数．专题：计算题．分析：欲求反函数的定义域，可以通过求在函数的值域获得，所以只要求出函数的值域即可．解答：解：由得，ex=．∵ex＞0，∴．＞0，∴﹣