1991高考数学全国卷及答案理

1991年普通高等学校招生全国统一考试-数学(理工农医类)考生注意：这份试卷共三道大题(26个小题)．满分120分奎屯王新敞新疆一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内．(1)已知sinα=54，并且α是第二象限的角，那么tgα的值等于()(A)34(B)43(C)43(D)34(2)焦点在(－1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是()(A)y2=8(x+1)(B)y2=－8(x+1)(C)y2=8(x－1)(D)y2=－8(x－1)(3)函数y=cos4x－sin4x的最小正周期是()(A)2(B)π(C)2π(D)4π(4)如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有()(A)12对(B)24对(C)36对(D)48对(5)函数y=sin(2x+25)的图像的一条对称轴的方程是()(A)x=－2(B)x=－4(C)8x(D)45x(6)如果三棱锥S－ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的()(A)垂心(B)重心(C)外心(D)内心(7)已知{an}是等比数列，且an0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于()(A)5(B)10(C)15(D)20(8)如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ=cos3516，那么它的焦点的极坐标为()(A)（0，0），（6，π）(B)(－3，0)，(3，0)(C)（0，0），（3，0）(D)(0，0)，(6，0)(9)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有()(A)140种(B)84种(C)70种(D)35种(10)如果AC0且BC0，那么直线Ax+By+C=0不通过．．．()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(11)设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么()(A)丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件(B)丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件(C)丙是甲的充要条件(D)丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件(12))]511)(411)(311([limnn…(1－21n)]的值等于()(A)0(B)1(C)2(D)3(13)如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是()(A)增函数且最小值为－5(B)增函数且最大值为－5(C)减函数且最小值为－5(D)减函数且最大值为－5(14)圆x2+2x+y2+4y－3=0上到直线x+y+1=0的距离为2的点共有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个(15)设全集为R，f(x)=sinx，g(x)=cosx，M={x|f(x)≠0}，N={x|g(x)≠0}，那么集合{x|f(x)g(x)=0}等于()(A)NM(B)NM(C)NM(D)NM二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．(16)arctg31+arctg21的值是____________奎屯王新敞新疆(17)不等式226xx1的解集是___________奎屯王新敞新疆(18)已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45°，那么这个正三棱台的体积等于奎屯王新敞新疆(19)(ax+1)7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项．若实数a1，那么a=奎屯王新敞新疆(20)在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a．那么这个球面的面积是奎屯王新敞新疆三、解答题：本大题共6小题；共60分．(21)(本小题满分8分)求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并写出使函数y取最小值的x的集合．(22)(本小题满分8分)已知复数z=1＋i,求复数1632zzz的模和辐角的主值．(23)(本小题满分10分)已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2．求点B到平面EFG的距离．(24)(本小题满分10分)根据函数单调性的定义，证明函数f(x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数．(25)(本小题满分12分)已知n为自然数，实数a1，解关于x的不等式logax－log2ax＋12log3ax＋…＋n(n－2)1nlognax3)2(1nloga(x2－a)(26)(本小题满分12分)双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为53的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则．二、每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．三、为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤．四、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．五、只给整数分数．一、选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分．(1)A(2)D(3)B(4)B(5)A(6)D(7)A(8)D(9)C(10)C(11)A(12)C(13)B(14)C(15)D二、填空题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分15分．(16)4(17){x|－2x1}(18)314(19)1+510(20)3πa2三、解答题(21)本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分．解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x＋cos2x)＋2sinxcosx+2cos2x——1分=1sin2x(1＋cos2x)——3分=2＋sin2x+cos2x=2+2sin(2x+4)．——5分当sin(2x+4)=－1时y取得最小值2－2．——6分使y取最小值的x的集合为{x|x=kπ－83π，k∈Z}．——8分(22)本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分．解：1632zzz=116)1(3)1(2iii=ii23——2分=1－i．——4分1－i的模r=22)1(1=2．因为1－i对应的点在第四象限且辐角的正切tgθ=－1，所以辐角的主值θ=47π．——8分(23)本小题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．解：如图，连结EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O．因为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EF∥BD，H为AO的中点．BD不在平面EFG上．否则，平面EFG和平面ABCD重合，从而点G在平面的ABCD上，与题设矛盾．由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离．——4分∵BD⊥AC，∴EF⊥HC．∵GC⊥平面ABCD，∴EF⊥GC，∴EF⊥平面HCG．∴平面EFG⊥平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线．——6分作OK⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离．——8分∵正方形ABCD的边长为4，GC=2，∴AC=42，HO=2，HC=32．∴在Rt△HCG中，HG=2222322．由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG．∴OK=111122222HGGCHO．即点B到平面EFG的距离为11112．——10分注：未证明“BD不在平面EFG上”不扣分．(24)本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力．满分10分．证法一：在(－∞，+∞)上任取x1，x2且x1x2——1分则f(x2)－f(x1)=3231xx=(x1－x2)(222121xxxx)——3分∵x1x2，∴x1－x20．——4分当x1x20时，有222121xxxx=(x1+x2)2－x1x20；——6分当x1x2≥0时，有222121xxxx0；∴f(x2)－f(x1)=(x1－x2)(222121xxxx)0．——8分即f(x2)f(x1)所以，函数f(x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数．——10分证法二：在(－∞，+∞)上任取x1，x2，且x1x2，——1分则f(x2)－f(x1)=x31－x32=(x1－x2)(222121xxxx)．——3分∵x1x2，∴x1－x20．——4分∵x1，x2不同时为零，∴x21＋x220．又∵x21＋x2221(x21＋x22)≥|x1x2|≥－x1x2∴222121xxxx0，∴f(x2)－f(x1)=(x1－x2)(222121xxxx)0．——8分即f(x2)f(x1)．所以，函数f(x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数．——10分(25)本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识，以及分析问题的能力．满分12分．解：利用对数换底公式，原不等式左端化为logax－4·2loglogaxaa＋12·3loglogaxaa＋…＋n(－2)n－1·naaaxloglog=[1－2＋4＋…＋(－2)n－1]logax=3)2(1nlogax故原不等式可化为3)2(1nlogax3)2(1nloga(x2－a)．①当n为奇数时，3)2(1n0，不等式①等价于logaxloga(x2－a)．②因为a1，②式等价于axxaxx2200002axxaxx24112411axaax——6分因为2411a0，2411a24a=a，所以，不等式②的解集为{x|ax2411a}．——8分当n为偶数时，3)2(1n0，不等式①等价于logaxloga(x2－a)．③因为a1，③式等价于axxaxx2200002axxaxx2411axax或2411axax——10分因为，，aaaa24241102411——12分所以，不等式③的解集为{x|x2411a}．综合得：当n为奇数时，原不等式的解集是{x|2411axa}；当n为偶数时，原不等式的解集是{x|2411ax}(26)本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合分析能力．满分12分．解法一：设双曲线的方程为2222byax=1．依题意知，点P，Q的坐标满足方程组①②222222531baccxybyax其中将②式代入①式，整理得(5b2－3a2)x2+6a2cx－(3a2c2+5a2b2)=0．③——3分设方程③的两个根为x1，x2，若5b2－3a2=0，则ab=53，即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b2－3a2≠0．根据根与系数的关系，有22221356abcaxx④222222213553abbacaxx⑤——6分由于P、Q在直线y=53(x－c)上，可记为P(x1，53(x