1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题

1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A),(B),(C),(D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1．多项式1612xx除以12x的余式是【】(A)1;(B)－1;(C)1x;(D)1x;2．对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是(A)Ⅰ,Ⅱ都对(B)Ⅰ对,Ⅱ错(C)Ⅰ错,Ⅱ对.(D)Ⅰ,Ⅱ都错.3．设x是实数,11xxy.下列四个结论:Ⅰ.y没有最小值;Ⅱ.只有一个x使y取到最小值;Ⅲ.有有限多个x(不止一个)使y取到最大值;Ⅳ.有无穷多个x使y取到最小值.其中正确的是【】(A)Ⅰ(B)Ⅱ(C)Ⅲ(D)Ⅳ4．实数54321,,,,xxxxx满足方程组.;;;;52154154354324321321axxxaxxxaxxxaxxxaxxx其中54321,,,,aaaaa是实常数,且54321aaaaa,则54321,,,,xxxxx的大小顺序是【】(A)54321xxxxx;(B)53124xxxxx;(C)52413xxxxx;(D)24135xxxxx.5．不等式73)1(12xxx的整数解的个解【】(A)等于4(B)小于4(C)大于5(D)等于56．在ABC中,BCAOOA,,是垂心是钝角,则)cos(OCBOBC的值是【】(A)22(B)22(C)23(D)21.7．锐角三角ABC的三边是a,b,c,它的外心到三边的距离分别为m,n,p,那么m:n:p等于【】(A)cba1:1:1;(B)cba::(C)CBAcos:cos:cos(D)CBAsin:sin:sin.FOpnmECBDA8．13333)919294(3可以化简成【】(A))12(333;(B))12(333(C)123(D)123二、填空题9．当x变化时,分式12156322xxxx的最小值是___________.10．放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.11．若方程kxx)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k＝____________.12．锐角三角形ABC中,30A.以BC边为直径作圆,与AB,AC分别交于D,E,连接DE,把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC,设它们的面积分别为S1,S2,则S1:S2＝___________.第二试一.设H是等腰三角形ABC垂心,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小,这时乘积HBCABCSS的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.HCBA二.ABC中,BC＝5,AC＝12,AB＝13,在边AB,AC上分别取点D,E,使线段DE将ABC分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE的最小长度.三.已知方程0022bcxxcbxx及分别各有两个整数根21,xx及21,xx,且,021xx021xx.(1)求证:;0,0,0,02121xxxx(2)求证:1b≤c≤1b;(3)求cb,所有可能的值.一九九三年全国初中数学联赛参考答案第一试一、选择题1．A2．B3．D4．C5．A6．A7．C8．D二、填空题第二试一、解一不妨设角A是锐角，边结AH并延长交BC于D点，延长BH，CH，分别交AC，AB于E，F，∵∠BHD＝∠AHE，∴∠HBD＝∠HAE．因此，Rt△BDH∽Rt△ADC，于是，S△ABC·S△HBC＝当∠A≥90°时，同理可证上式也成立．由于BC是不变的，所以当A点至BC的距离变小时，乘积S△ABC·S△HBC保持不变．解二作图如解一，再延长AD至G，使DG＝DH，并分别连结BG、GC，由△HBD≌△GBD知，∠CBG＝∠CBH＝∠CAG，因而，A，B，G，C四点共圆．因此，S△ABC·S△HBC由于BC是不变的，所以当点A至BC的距离变小时，乘积S△ABC·S△HBC保持不变．二、解由52＋122=132知△ABC是直角三角形．由余弦定理知：DE2＝x2＋y2－2xycosA＝(x－y)2＋2xy(1－y)2＋2xy(1－cosA)达到最小值．三、(1)假如x1＞0，则由x1x2＞0知x2＞0．对于已知两个方程用韦达定理得x1＋x2＝－b＝－x1＇x2＇，这与已知x1x2＞0，x1＇x2＇＞0矛盾．因此x1＜0，x2＜0．同理，x1＇＜0，x2＇＜2．(2)由韦达定理及x1＜0，x2＜0，有c－(b－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＝(x1＋1)(x2＋1)≥0，所以c≥b－1．对于方程x2＋cx＋b＝0进行同样讨论，得b≥c－1．综合以上结果有b－1≤c≤b＋1．(3)根据(2)的结果可分下列情况讨论：①当c＝b＋1时，由韦达定理有x1x2＝－x1－x2＋1，从而由此算出b＝5，c＝6．经检验b＝5，c＝6符合题意．②当c＝b时，有x1x2＝－(x1＋x2)，从而(x1＋1)(x2＋1)＝1．因此x1＝x2＝－2．故b＝c＝4．经检验b＝c＝4符合题意．③当c＝b－1时,b＝c＋1对方程x2＋cx＋b