共线向量与共面向量资料

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·选修2-1第三章空间向量与立体几何成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1第三章第2课时共线向量与共面向量第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1课程目标解读1．理解共线向量定理、共面向量定理．2．熟练进行向量的线性表示．3．会利用共线向量定理、共面向量定理解决向量的共线、共面问题．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1重点难点展示第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1重点：向量的线性运算，共线向量与共面向量定理．难点：共线向量和共面向量的理解与运用．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1复习回顾:一、共线向量：1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作//ab．规定:o与任一向量a是共线向量.2.共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数，使ab.复习回顾:1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作//ab．规定:o与任一向量a是共线向量.2.共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数，使ab.第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1lAPaB⑴∵//APa,∴存在唯一实数tR,使APta.∴点P在直线l上唯一实数,tR使APta①⑵对于任意一点O,有APOPOA则点P在直线l上唯一实数,tR使OPOAta②⑶点B在直线l上,且ABa则点P在直线l上唯一实数,tR使OPOAtAB③注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式,即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.O注:我们把非零向量a叫做直线l的方向向量.第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使12ee，a12，1122aeeabBPCAab第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-11.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量既可能共面，也可能不共面二.共面向量:OAaa①a∥α是指a所在的直线在平面α内或平行于平面α.②共面向量所在的直线可能相交、平行或异面．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1由平面向量基本定理知，如果，是平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使如果空间向量与两不共线向量，共面，那么可将三个向量平移到同一平面，则有pxaybapb那么什么情况下三个向量共面呢？2211eea1e2e12aa1e2e第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1反过来，对空间任意两个不共线的向量，，如果，那么向量与向量,有什么位置关系？abpxaybab共线，，分别与bbya,ax确定的平面内，都在bbya,ax确定的平面内，，并且此平行四边形在ba共面，与即确定的平面内，在bbbyap,aaxpabABPpCp第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-12.共面向量定理：如果两个向量，不共线，pxaybabpab则向量与向量，共面的充要条件是存在实数对x,y使abABPpC第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1abBCpPAO思考1：有平面ABC，若P点在此面内，须满足什么条件？结论:空间一点P位于平面ABC内存在有序实数对x,y使APxAByAC可证明或判断四点共面）（其中或者：或有：1)1(OCOBOAOPOCyOBxOAyxOPOPOAxAByAC或对空间任一点O,有第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1可证明或判断四点共面可证明或判断三点共线或证明直线平行判定两向量共线的关键是找到实数λ.运用若存在唯一实数λ，使a＝λb，则a∥b.证明直线平行还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上．运用若存在唯一实数λ，使a＝λb，则a∥b.证明三点共线，还需说明a与b有公共点．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1课前自主预习第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1学习要点点拨第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1前面，我们学习了平面向量共线的充要条件，这个条件在空间也是成立的，即①a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，则a∥b.判定两向量共线的关键是找到实数λ.运用②证明直线平行还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上．运用②证明三点共线，还需说明a与b有公共点．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1课堂典例讲练第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1命题方向共线向量[例1]如图所示，ABCD－ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断CE→与MN→是否共线？建模应用引路第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[分析]要判断CE→与MN→是否共线，由共线向量定理就是判定是否存在实数x，使CE→＝xMN→.若存在则CE→与MN→共线，否则CE→与MN→不共线．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[解析]M、N分别是AC、BF的中点，而ABCD、ABEF都是平行四边形，∴MN→＝MA→＋AF→＋FN→＝12CA→＋AF→＋12FB→.又∵MN→＝MC→＋CE→＋EB→＋BN→＝－12CA→＋CE→－AF→－12FB→，∴12CA→＋AF→＋12FB→＝－12CA→＋CE→－AF→－12FB→.∴CE→＝CA→＋2AF→＋FB→＝2(MA→＋AF→＋FN→)．∴CE→＝2MN→.∴CE→∥MN→，即CE→与MN→共线．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1如右图，已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且CF→＝23CB→，CG→＝23CD→.求证：四边形EFGH是梯形．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[证明]∵E、H分别是AB、AD的中点，∴AE→＝12AB→，AH→＝12AD→.∵CF→＝23CB→，CG→＝23CD→，∴CB→＝32CF→，CD→＝32CG→，∴EH→＝AH→－AE→＝12AD→－12AB→＝12(AD→－AB→)＝12BD→＝12(CD→－CB→)＝12(32CG→－32CF→)第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1＝34(CG→－CF→)＝34FG→.∴EH→∥FG→且|EH→|＝34|FG→|≠|FG→|.∵E∉FG，∴EH∥FG且|EH|＝34|FG|，∴四边形EFGH是梯形．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1命题方向共面问题[例2]正方形ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别为A1D1、D1C1、AA1、CC1的中点，求证：M、N、P、Q四点共面．探索延拓创新第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[分析]要证M、N、P、Q四点共面，只须证明MP→、MN→、MQ→共面，即寻求实数λ、μ、k，使得λMP→＋μMN→＋kMQ→＝0.为此，令D1A1→＝a，D1C1→＝b，D1D→＝c，将MP→、MN→、MQ→都用a、b、c线性表示，再寻求它们系数之间关系或者令MQ→＝λMP→＋μMN→，建立λ、μ的方程组解之．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[解析]令D1A1→＝a，D1C1→＝b，D1D→＝c，∵M、N、P、Q均为棱的中点，∴MN→＝12b－12a，MP→＝MA1→＋A1P→＝12a＋12c，MQ→＝MD1→＋D1C1→＋C1Q→＝－12a＋b＋12c令MQ→＝λMN→＋μMP→，则－12a＋b＋12c＝12(μ－λ)a＋12λb＋12μc，第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1∴12μ－λ＝－1212λ＝112μ＝12，∴λ＝2μ＝1.∴MQ→＝2MN→＋MP→，因此向量MQ→，MN→，MP→共面，∴四点M、N、P、Q共面．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1如图，已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．用向量法证明E，F，G，H四点共面．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[分析]要证E，F，G，H四点共面，根据共面向量定理，只需探求存在实数x，y，使EG→＝xEF→＋yEH→成立．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[解析]如图，连结BG，EG，则BF→＝12BC→，EH→＝12BD→，BG→＝12(BC→＋BD→)，所以EG→＝EB→＋BG→＝EB→＋12(BC→＋BD→)＝EB→＋BF→＋EH→＝EF→＋EH→.由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[例4]已知e1，e2是不共线向量，a＝3e1＋4e2，b＝－3e1＋8e2，判断a与b是否共线．[错解]因为3e1与－3e1共线，4e2与8e2共线，所以a与b共线．[辨析]没有准确理解向量共线的充要条件：任一向量a与非零向量b共线的充要条件是a＝λb.名师辨误作答第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[正解]设a＝λb，即3e1＋4e2＝λ(－3e1＋8e2)＝－3λe1＋8λe2，－3λ＝3⇒λ＝－18λ＝4⇒λ＝12，所以不存在λ，使a＝λb，所以a与b不共线．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1方法规律总结第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-11．证明向量a与b共线，即寻找实数λ，使a＝λb(b≠0)，可先设a＝λb，建立关于λ的方程，解出λ，即获证；若判断a与b是否共线，方法同上，若λ有解则共线，否则不共线．运用上述方法还可求参数的值．2．用共线向量定理证明三点共线得出向量平行后，还应指明两向量有公共点，同理证明二直线平行方法类似．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-13．证明点P在平面ABC内，可以用AP→＝xAB→＋yAC→，也可以用OP→＝OA→＋xAB→＋yAC→，若用OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，则必须满足x＋y＋z＝1.