1996年全国高中数学联赛试题及解答

1996年全国高中数学联赛冯惠愚-1-1996年全国高中数学联合竞赛试卷第一试(10月13日上午8：00－9：20)一、选择题(本题满分36分，每题6分)1．把圆x2+(y－1)2=1与椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为()(A)线段(B)不等边三角形(C)等边三角形(D)四边形2．等比数列{an}的首项a1=1536,公比q=－12,用πn表示它的前n项之积。则πn(n∈N*)最大的是()(A)π9(B)π11(C)π12(D)π133．存在整数n,使p+n+n是整数的质数p()(A)不存在(B)只有一个(C)多于一个,但为有限个(D)有无穷多个4．设x∈(－12，0),以下三个数α1=cos(sinxπ),α2=sin(cosxπ),α3=cos(x+1)π的大小关系是()(A)α3α2α1(B)α1α3α2(C)α3α1α2(D)α2α3α15．如果在区间[1,2]上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+1x2在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是()(A)4+11232+34(B)4－5232+34(C)1－1232+34(D)以上答案都不对6．高为8的圆台内有一个半径为2的球O1，球心O1在圆台的轴上，球O1与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个半径为3的球O2，使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球O2，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)4二、填空题(本题满分54分，每小题9分)1．集合{x|－1≤log1x10－12，x∈N*}的真子集的个数是．2．复平面上，非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，_z1·z2的实部为零，z1的辐角主值为π6，则z2=_______．3．曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是(2,0)，曲线C在它所在的平面内绕A旋转1996年全国高中数学联赛冯惠愚-2-一周，则它扫过的图形的面积是_______．4．已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是________．5．从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有_______种．(注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同．)6．在直角坐标平面，以(199,0)为圆心，199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为________．1996年全国高中数学联赛冯惠愚-3-第二试一、（本题满分25分）设数列{an}的前n项和Sn=2an－1（n=1，2，…），数列{bn}满足b1=3，bk+1=ak+bk(k=1，2，…)．求数列{bn}的前n项和．二、（本题满分25分）求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意θ∈[0，2]，恒有（x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥18．三、（本题满分35分）如图，圆O1和圆O2与△ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点。求证直线PA与BC垂直。EFABCGHPO1。。O21996年全国高中数学联赛冯惠愚-4-四、（本题满分35分）有n(n≥6)个人聚会，已知：（1）每人至少同其中n2个人互相认识；（2）对于其中任意n2个人，或者其中有2人相识，或者余下的人中有2人相识．证明：这n个人中必有三人两两认识．1996年全国高中数学联赛冯惠愚-5-1996年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(本题满分36分，每题6分)1．把圆x2+(y－1)2=1与椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为()(A)线段(B)不等边三角形(C)等边三角形(D)四边形解：9－9(y－1)2=9－(y+1)2，8y2－20y+8=0，y=2或12，相应的，x=0，或x=±3．此三点连成一个正三角形．选C．2．等比数列{an}的首项a1=1536,公比q=－12，用πn表示它的前n项之积。则πn(n∈N*)最大的是()(A)π9(B)π11(C)π12(D)π13解：πn=1536n×(－12)n(n－1)2，故π110，π9，π12，π130．作商比较：又，π12π9=15363(12)66－361，π13π12=1536(12)78－661．故选C．3．存在整数n,使p+n+n是整数的质数p()(A)不存在(B)只有一个(C)多于一个,但为有限个(D)有无穷多个解：如果p为奇质数，p=2k+1，则存在n=k2(k∈N+)，使p+n+n=2k+1．故选D．4．设x∈(－12,0)，以下三个数α1=cos(sinxπ),α2=sin(cosxπ),α3=cos(x+1)π的大小关系是()(A)α3α2α1(B)α1α3α2(C)α3α1α2(D)α2α3α1解：α1=cos(sin|x|π)0，α2=sin(cos|x|π)0，α3=cos(1－|x|)π0，排除B、D．∵sin|x|π+cos|x|π=2sin(|x|π+π4)π2，于是cos|x|ππ2－sin|x|π，∴sin(cos|x|π)cos(sin|x|π)，故α2α1，选A．又解：取x=－14，则α1=cos22，α2=sin22，α3=cos34π0．由于π622π4，故α1α2．5．如果在区间[1,2]上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+1x2在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是()(A)4+11232+34(B)4－5232+34(C)1－1232+34(D)以上答案都不对1996年全国高中数学联赛冯惠愚-6-解：g(x)=x+1x2=12x+12x+1x2≥3314=3232．当且仅当12x=1x2即x=32时g(x)取得最小值．∴－p2=32，4q－p24=3232，p=－232，q=3232+34．由于32－12－32．故在[1．2]上f(x)的最大值为f(2)=4－5232+34．故选B．6．高为8的圆台内有一个半径为2的球O1，球心O1在圆台的轴上，球O1与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个半径为3的球O2，使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球O2，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)4解：O2与下底距离=3，与O1距离=2+3=5，与轴距离=4，问题转化为在以4为半径的圆周上，能放几个距离为6的点？右图中，由sin∠O2HC=3/40．707，即∠O2HO390°，即此圆上还可再放下2个满足要求的点．故选B．二、填空题(本题满分54分，每小题9分)1．集合{x|－1≤log1x10－12，x∈N*}的真子集的个数是．解由已知，得12logx10≤11≤lgx210≤x100．故该集合有90个元素．其真子集有290-1个．2．复平面上，非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，_z1·z2的实部为零，z1的辐角主值为π6，则z2=_______．解：z1满足|z－i|=1；argz1=π6，得z1=32+12i，_z1=cos(－π6)+isin(－π6)．设z2的辐角为θ(0θπ)，则z2=2sinθ(cosθ+isinθ)．_z1·z2=2sinθ[cos(θ－π6)+isin(θ－π6)]，若其实部为0，则θ－π6=π2，于是θ=2π3．z2=－32+32i．3．曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是(2,0)，曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周，则它扫过的图形的面积是_______。解：只要考虑|AP|最长与最短时所在线段扫过的面积即可．设P(1+cosθ，θ)，则|AP|2=22+(1+cosθ)2－2·2(1+cosθ)cosθ=－3cos2θ－2cosθ+5332O2O1HO3O4HO2CP1xO1996年全国高中数学联赛冯惠愚-7-=－3(cosθ+13)2+163≤163．且显然|AP|2能取遍[0，163]内的一切值，故所求面积=163π．4．已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是________。解：该六面体的棱只有两种，设原正三棱锥的底面边长为2a，侧棱为b．取CD中点G，则AG⊥CD，EG⊥CD，故∠AGE是二面角A—CD—E的平面角．由BD⊥AC，作平面BDF⊥棱AC交AC于F，则∠BFD为二面角B—AC—D的平面角．AG=EG=b2－a2，BF=DF=2ab2－a2b，AE=2b2－(233a)2=2b2－43a2．由cos∠AGE=cos∠BFD，得2AG2－AE22AG2=2BF2－BD22BF2．∴4(b2－432a2)b2－a2=4a2b24a2(b2－a2)9b2=16a2，b=43a，从而b=2，2a=3．AE=2．即最远的两个顶点距离为3．5．从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有_______种。(注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同。)解：至少3种颜色：6种颜色全用：上面固定用某色，下面可有5种选择，其余4面有(4－1)!=6种方法，共计30种方法；用5种颜色：上下用同色：6种方法，选4色：C45(4－1)!=30；6×30÷2=90种方法；．用4种颜色：C26C24=90种方法．用3种颜色：C36=20种方法．∴共有230种方法．6．在直角坐标平面，以(199,0)为圆心，199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为________．解：把圆心平移至原点，不影响问题的结果．故问题即求x2+y2=1992的整数解数．显然x、y一奇一偶，设x=2m，y=2n－1．且1≤m，n≤99．则得4m2=1992－(2n－1)2=(198+2n)(200－2n)．m2=(99+n)(100－n)≡(n－1)(－n)(mod4)由于m为正整数，m2≡0，1(mod4)；(n－1)(－n)≡0，(当n0，1(mod4)时)2，(当n2，3(mod4)时)2ababbGEFBCDA1996年全国高中数学联赛冯惠愚-8-二者矛盾，故只有(0，±199)，(±199，0)这4解．∴共有4个．(199，±199)，(0，0)，(398，0)．第二试一、（本题满分25分）设数列{an}的前n项和Sn=2an－1（n=1，2，…），数列{bn}满足b1=3，bk+1=ak+bk（k=1，2，…)．求数列{bn}的前n项和．解：a1=2a1－1，a1=1；an=(2an－1)－(2an－1－1)=2an－2an－1，an=2an－1．{an}是以1为首项，2为公比的等比数列．an=2n－1．bk+1－bk=2k－1，bn－b1=(bn－bn－1)+(bn－1－bn－2)+…+(b2－b1)=2n－2+2n－3+…+20=2n－1－1．∴bn=2n－1+2．∴nΣi=1bi=2n+2n－1．二、（本题满分25分）求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意θ∈[0，2]，恒有（x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥18．解：令sinθ+cosθ=u，则2sinθcosθ=u2－1，当θ∈[0，2]时，u∈[1，2]．并记f(x)=(