1996年哈尔滨工业大学量子力学试题

1996年量子力学考研试题一.（见习题选讲6.1）设氢原子处于,YR21,YR21,YR21,,112110311021rrrr的状态上，求其能量、角动量平方及角动量z分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。解：选zLLH,,2为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为,YR,,12224lmnlnlmnrrneE其中，量子数的取值范围是lllllmnln,1,,2,1,1,,2.1,0,3,2,1利用归一化条件求出归一化常数为5421412121c主量子数n的可能取值只有两个，即3,2n，于是525421,1853542141,832432242EWeEEWeE2424247275218538eeeE角动量量子数l的可能取值只有一个，即1l，故有222222213,2LLWL角动量磁量子数m的可能取值有两个，即0,1m，于是535441210,0525421,zzzzLELLEL52zL二.（见习题选讲7.4）已知算符BAˆ,ˆ满足AABAAAAAˆˆˆ,1ˆˆˆˆ,0ˆ2证明BBˆˆ2，并在Bˆ表象中求出Aˆ的矩阵表示。解：由题中所给条件可知BAAAAAAAAAAAAAAAAAABˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ1ˆˆˆˆˆˆˆˆ22设算符Bˆ满足的本征方程为BBˆ则有22ˆBB由上式可知BB2显然，有1,0B在自身表象中，1000ˆB设算符Aˆ在Bˆ表象中的矩阵形式为dcbaAˆ利用0ˆˆˆˆˆAAAAB得到0dc再利用0ˆ2A又得到0,02aba只有0,0ba否则，算符0ˆA。最后，根据条件BAAˆˆˆ即10000000b00*b可定出12b在Bˆ表象中Aˆ的矩阵表示为00e0ˆiA其中，为任意实常数。三.（见2001年第二题）作一维运动的粒子，当哈密顿算符为xVpH2ˆˆ20时，能级是0nE，如果哈密顿算符变成pHHˆˆˆ0（为实参数），求变化后的能级nE。解：视为参变量，则有pHˆˆ利用费曼-海尔曼定理可知npnnHnEnˆ1ˆ又知pppxHxtxˆ1ˆ2ˆ,i1ˆ,i1dd2在任何束缚态n下，均有0ˆˆi1ˆ,i1ddnxHHxnnHxnntxn所以，npnˆ进而得到能量本征值满足的微分方程nE对上式作积分，得到cEn22利用0时，0ˆˆHH，定出积分常数0nEc最后，得到Hˆ的本征值为220nnEE四.两个自旋为21的非全同粒子，自旋间的相互作用是21ˆˆssC，其中，C是常数，1ˆs与2ˆs分别是粒子1和粒子2的自旋算符。设0t时，粒子1的自旋沿z轴的正方向，粒子2的自旋沿z轴的负方向，求0t时测量粒子2的自旋处于z轴负方向的几率。解：体系的哈密顿算符为2221221ˆˆˆ2ˆˆˆsssCssCH选择耦合表象，由于1,0s，故四个基底为111；112；103；004在此基底之下，哈密顿算符是对角矩阵，即30000100001000014ˆ2CH可以直接写出它的解为214CE，111224CE，112234CE，211032443CE，21004已知0t时，体系处于0010210因为哈密顿算符不显含时间，故0t时刻的波函数为tCtCtEtEt43iexp214iexp2100iexp10iexp2143粒子2处于z轴负方向的几率为tCtCtCtCtCtttsWz2cos2iexp2iexp2143iexp4iexp21,2222222五．（类似习题选讲9.4）三维各向同性谐振子的能量算符为222220212ˆˆzyxmmpH试写出能量本征值与本征函数。如这谐振子又受到微扰xymW22ˆ1的作用，求基态能量到二级微扰修正，并与精确解比较。解：已知0ˆH的本征解为,2,1,0,,,,)()(),,(23230,,0zyxnnnnnnzyxnnnnnzyxzyxnnnnEzyxzyx因为基态无简并，故可以直接使用无简并微扰论公式230000EE00000000200000000102ˆxymWE利用公式1,1,2121nmnmnnnxm可知000000000000000zzyyyxxxxy于是有010E能量的二级修正为328ˆˆ22010142202002011000000100020000020yyyxxxmEEWEEWEnfinnin近似解为322320E利用坐标变换求体系的精确解。由于微扰项与z方向无关，故可以只考虑另外两个方向的坐标变换。令YXyYXx21;21即yxYyxX21;21可以证明2222222222222221YXyxYXxyYXyx因此，哈密顿算符可以改写为222222222222224212ˆYXmzYXmzYXmH若令22121；22221则哈密顿算符为2222222122222222121212ˆzmYmXmzYXmH最后，得到精确解为21212132211,32,1nnnEnnn基态能量为12121212210E利用公式3264231142112111xxxx将根式展开至的二次项，得到322320E与微扰论的二级近似结果完全一致。