1997年全MBA入学考试数学试题和答案

1997年全MBA入学考试数学试题和答案一、选择题：本大题共20个小题，每小题2.5分，共50分，在每小题给出的五个选项中，只有一项正确，把所选项前的字母填在括号内。1.某厂一生产流水线，若每分15秒可出产品4件，则1小时该流水线可出产品(A)480件(B)540件(C)720件(D)960件(E)1080件【】解：15秒生产4件，则1分钟生产4×4=16件，1小时生产16×60=960件，正确的选择是D。112.若x2+bx+1=0的两个根为x1和x2，且--+--=5，则b的值是x1x2(A)-10(B)-5(C)3(D)5(E)10【】11x1+x2解：已知—+—=———=5,x1x2x1·x2由韦达定理：x1x2=1,x1+x2=-b,得b=-5.正确的选择是B。3.某投资者以2万元购买甲、乙两种股票，甲股票的价格为8元/股，乙股票的价格为4元/股，它们的投资额之比是4：1。在甲、乙股票价格分别为10元/股和3元/股时，该投资者全部抛出这两种股票，他共获利(A)3000元(B)3889元(C)4000元(D)5000元(E)2300元【】解：期初，2万元投资于甲和乙两种股票，比例为4：1，516000故投资于甲为20000×—=16000元，共———=2000股，4814000投资于乙为20000×—=4000元，共———=1000股，54期末，卖出A共得2000×10=20000元，卖出B共得1000×3=3000元。共卖得23000元。故总盈利23000-2000=3000元。正确的选择是A。4.甲仓存粮30吨，乙仓存粮40吨，要再往甲仓和乙仓共运去粮食80吨，使甲仓粮食是乙仓粮食数量的1.5倍，应运往乙仓的粮食是(A)15吨(B)20吨(C)25吨(D)30吨(E)35吨【】解：最后A、B两仓共计30+40+80=150吨，又知甲：乙=1.5:1,1故乙仓为150×———=60吨，1.5+1须向乙仓再运行60-40=20吨。正确的选择是B。-------105.若√(a-60)2+|b+90|+(c-130)=0,则a+b+c的值是(A)0(B)280(C)100(D)-100(E)无法确定【】解：a=60,b=-90,c=130,所以a+b+c=100.正确的选择是C.6.一等差数列中，a1=2,a4+a6=-4，该等差数列的公差是(A)-2(B)-1(C)1(D)2(E)3【】解：设公差为d，由已知得a1=2｛a4+a6=(a1+3d)+(a1+5d)=-4解得d=1.正确的选择是B。427.(3-2x)的二项展开式中，x的系数是(A)126(B)148(C)205(D)216(E)264222解：x2项的系数为C4·3·(-2)=216.正确的选择是D。【】8.若圆锥体的高h和底半径r的比是4：3，且侧面积为15π，则它的高h是-(A)4(B)5(C)3√2--(D)3√3(E)4√2【】------3解：侧面积=πr√h2+r2,而r=--h,4_________39得15π=π·-h√h2+—h2,416解得h=4.正确的选择是A。9.ab0时，直线y=ax+b必然(A)经过1、2、4象限(B)经过1、3、4象限(C)在y轴上的截距为正数(D)在x轴上的截距为正数(E)在x轴上的截距为负数【】解：ab0则a0,b0或a0,b0若a0,b0，则直线图形如图1所示，若a0,b0，则直线图形如图2所示，故当ab0时直线y=ax+b在x轴上的截距为正。正确的选择是D。10.若菱形ABCD的两条对角线AC=a,BD=b，则它的面积是1-(A)ab(B)-ab(C)√2ab3-1√2(D)-ab(E)---ab22【】解：在菱形中两对角线必正交(垂直)1故面积=—ab2正确的选择是D。11.若圆柱体的高增大到原来的3倍，底半径增大到原来的1.5倍，则其体积增大到原来的体积的倍数是(A)4.5(B)6.75(C)9(D)12.5(E)15【】解：圆柱体体积V=hπr2，h和r增加后的体积V=3h·π(1.5r)2=6.75hπr2.正确的选择是B。12.圆方程x2-2x+y2+4y+1=0的圆心是(A)(-1,-2)(B)(-1,2)(C)(-2,2)(D)(2,-2)(E)(1,-2)【】解：x2-2x+y2+4y+1=(x-1)2+(y+2)2-4=0，圆心为(1，-2)。正确的选择是E。2-=13.lim(1+3x)xx→0(A)1(B)0(C)e2(D)e3(E)e6【】解：lim(1+3x)x=lim(1+3x)3x=e.x→0x→0正确的选择是Ex2+2x(x≥0)14.若f(x)=｛在x=0处可导，则a=ln(1+ax)(x0)(A)-2(B)2(C)-1(D)1(E)0【】解：由limf(x)=0,limf(x)=0,f(0)=0知f(X)在x=0连续，0x→+0x→-0a求导：x0时f(x)=2x+2,x0时f(x)=-----,1+ax令x→0解得a=2。正确的选择是B。15.y=xxr导数y'=(A)Xx(1+lnx)(B)Xxlnx(C)Xx-1(D)Xx(1-lnx)(E)Xx-1(1+lnx)【】1解：由lny=xlnx,得-y=lnx+1.y所以y=y(lnx+1)=xx(lnx+1).16.在下列积分中，其值等于0的是111(A)∫sin2xdx(B)∫cos2xdx(C)∫cos3xdx-1-1-111(D)∫sin2xdx(E)∫xsinxdx-1-1【】解：利用函数的奇偶性和区间的对称性得1∫sin2xdx=0,-1其他积分都非0.正确的选择是D.11----17.若∫f(x)exdx=-ex+C，则f(x)=111(A)-(B)--(C)--xx2x11-(D)---(E)exx2【】解：由f(x)ex=--(-ex+c)=-ex·--得f(x)=---.dxx2x2正确的选择是D。-----18.f(x)=√x-x2的定义域是(A)(-∞,1〕(B)(-∞,0),(1,+∞)(C)(0,1)(D)(-∞,0〕,〔1,+∞)(E)〔0,1〕【】解：定义域为x-x2=x(1-x)≥0,解不等式得0≤x≤1.正确的选择是E。19.下列矩阵中，行列式值为0的矩阵是------|321||003||0-10|(A)|-321|(B)|0-10|(C)|300||001||130||001|----------|321||3-16|(D)|214|(E)|224||641||162|----解：(E)中行列式的第1列和第3列成正比例，故行列式为0，其他行列式非0。下确的选择是E。【】20.10件产品中有3件次品，从中随机抽出2件，至少抽到一件次品的概率是127(A)-(B)-(C)--351583(D)--(E)-155【】解：10件中随机抽出2件，全是正品的概率为2C77----=---.215C10所以抽出2件至少抽到一件次品的概率为781----=--.1515正确的选择是D。得分阅卷人二、计算题：本大题共12个小题，前10题每小题4分，后2题每小题5分。21.求由方程xy+ey-sin(xy2)=1所确定的函数y=y(x)的导数y'。得分阅卷人y+xy+ey·y-cos(xy2)(y2+2xyy)=0,即(x+ey-2xycos(xy2))y=y2cos(xy2)-y,y2cos(xy2)-y解得y=————————.x+ey-2xycos(xy2)122.若一条二次曲线把(-∞,0)内的曲线段y=ex和(1，+∞)内曲线段y=-连结成一条一阶x可导的曲线，求定义在〔0,1〕上的这条二次曲线y=ax2+bx+c。得分阅卷人解：曲线在x=0,x=1处连续，故有c=1｛a+b+c=1曲线在x=0,x=1处可导，故又有b=1｛2a+b=-1解得a=1,b=1,c=1所以曲线方程y=-x2+x+1.1-x123.求极限lim(----)-x→01+xx.得分阅卷人1-x-11-x解：令y=(----)xlny=-ln----,1+xx1+x-(1+x)-(1-x)-------------11-x(1+x2)lim-ln----=lim-----------------=-2,x→0x1+xx→01-x-----1+x另一解法：1-1lim(1-x)x1-x-x→0-2lim(----)x=----------=ex→01+x1-lim(1+x)xx→024.计算∫x2exdx.得分阅卷人解：利用分部积分法∫x2exdx=∫x2dex=x2ex-2∫exxdx=x2ex-2∫xdex=x2ex-2(xex-∫exdx)=x2ex-2(xex-ex)+c.25.求函数y=x3-x2-x+1在〔0,2〕上的极值，最大值和最小值.得分阅卷人解：由y=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1)=01得其根为x=--(舍去)，x=1,3作表：x|〔0,1)|1|(1,2〕----|---------|--------|-------y|-|0|+----|---------|--------|-------y|↓|极小值|↑（注：箭头右下，右上）极小值是y|x=1=0,在端点处，y|x=0=1,y|x=2=3,所以最大值是3，最小值是0.----|11-1||2|26.已知AX=B，其中A=|010|,B=|3|，求X.?|111||6|----得分阅卷人解：|A|≠0,用A-1左乘方程AX=B的两端得X=A-1B,--|11||--1-|-1|22|而A=|010||11||--0-||22||11||—-1—||22||2||1|所以X=|010||3|=|3||11||6||2||-—0—||22|27.计算n阶行列式|a00…01||0a0…00||00a…00|D=|……||000…a0||100…0a|得分阅卷人|a||0a0…0||a|1+n|00a…|解：D=a||+(-1)|……||…||000…a||a||100…0|=an+(-1)n+1(-1)nan-2=an-an-2.28.求解线性方程组x1-2x2+3x3-4x4=4｛x2-x3+x4=-3x1+3x2-3x4=1-7x2+3x3+x4=-3得分阅卷人x1-2x2+3x3-4x4=4｛x2-x3+x4=-3x1+3x2-3x4=1-7x2+3x3+x4=-3解：利用初等变换，得|1-23-44||1-23-44||01-11-3||01-11-3|(AB)=||→|||130-31||001-26||0-731-3||00000|故同解方程组是x1-x2x2+3x3=4+4x4｛x2-x3=-3-x4x3=6+2x4x1=-8x2=x4+3解得｛x3=2x4+6x4=x4--29.若两事件A和B相互独立，且满足P(AB)=P(AB),P(A)=0.4，求P(B).得分阅卷人解：因为事件A和B相互独立，所以事件A和B也相互独立，从而--P(A)P(B)=P(A)P(B)=(1-P(A))(1-P(B))亦即0.4P(B)=0.6(1-P(B)),得(0.4+0.6)P(B)=P(B)=0.6.30.若P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3--求P(A+B)和P(A+B).得分阅卷人解：因为P(A-B)=P(A)-P(AB).所以P(AB)=P(A)-P(A-B)=0.5-0.3=0.2,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.4-0.2=0.7.____又因为P(A+B)=P(AB)=1-P(AB),__得P(A+B)=1-0.2=0.8.另一解法因为A+B=B+(A-B),B与A-B互斥,所以P(A+B)=P(B)+P(A-B)=0.4+0.3=0.7.又因为P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.5+0.4-0.7=0.2,____得P(A+B)=P(AB)=1-P(AB)=1-0.2=0.8.31.求由曲线y=ex和该曲线的经