1997年全国高中数学联赛1试2试试题

一九九七年第一试一、选择题本题共有6个小题，每个小题都给出了代号为（A）、（B）、（C）、（D）的四个结论，其中只有一个结论是正确的。请把正确结论的代号写在题后的圆括号内。1．已知数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1=a,x2=b,记Sn=x1+x2+…+xn。则下列结论正确的是（A）x100=-a,S100=2b-a;（B）x100=-b,S100=2b-a;（C）x100=-b,S100=b-a;（D）x100=-a,S100=b-a;2．如科，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得FDCFEBAE（0λ）记)(f,其中表示EF与AC所成的角，表示EF与BD所成的角。则（A）f(λ)在（0，）单调增加；（B）f(λ)在（0，）单调减少；（C）f(λ)在（0，1）单调增加，而在（1，+）单调减少；（D）f(λ)在（0，+）为常数。答（）3．设等差数列的首项及公差均为非负数，项数不少于3，且各项的和为297。则这样的数列共有（A）2个；（B）3个；（C）4个；（D）5个。答（）4．在平面直角坐标系中，若方程222)32()12(yxyyxm表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为。（A）（0，1）（B）（1，+）（C）（0，5）（D）（5，+）答（）5．设)31arccos(,45,31arcsin,)(2arctgxxxf)45(arcctg则).()()()()();()()()()();()()()()();()()()()(ffffDffffCffffBffffA答（）6．如果空间三条直线a、b、c两两成异面直线，那么与a、b、c都相交的直线有（A）0条；（B）1条；（C）多于1的有限条；（D）无穷多条。答（）二、填空题1．设x、y为实数，且满足1)1(1997)1(1)1(1997)1(33yyxx则x+y=。2．过双曲线1222yx的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数λ使得AB的直线l恰有3条，则λ=。3．已知复数z满足112zz则z的辐角主值范围是。4．已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上。则点O到平面ABC的距离为。5．设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一。若在5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动。那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种。6．设),1lg(lg,1)(lglg11xyzxbyzxza1)(lglg1xyzyc，记a、b、c中的最大数为M。则M的最小值为。三、设x≥y≥z≥2且2zyx。求乘积cosxsinycisz的最大值和最小值。四、设双曲线xy=1的两支为C1、C2（如图），正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上。（1）求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；（2）设P（-1，-1）在C2上，Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标。五、设非零复数a1，a2，a3，a4，a5满足Saaaaaaaaaaaaaaaaaa)11111(4543215432145342312其中S为实数且2S。求证：复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上。第二试一、如图，已知两个半径不相等的⊙O1与⊙O2相交于M、N两点，且⊙O1、⊙O2分别与⊙O内切于S、T两点。求证：OM⊥MN的充分必要条件是S、N、T三点共线。二、试问：当且仅当实数x0,x1,…,xn(n≥2)满足什么条件时，存在实数y0,y1,…,yn使得2222120nzzzz成立，其中zk=xk+iyk，i为虚数单位，k=0，1，…，n。证明你的结论。三、在100×25的长方形表格中每一格填入一个非负实数，第i行第j列中填入的数为xi,j（i=1,2,…100；j=1，2，…，25）（如表1）。然后将表1每列中的数按由大到小的次序从上到下重新排列为)25,,2,1(,100,2,1jxxxjjj（如表2）求最小的自然数k，使得只要表1中填入的数满足)100,,2,1(1251,ixjji，则当i≥k时，在表2中就能保证1251,jjix成立。表1x1,1x1,2…x1,25x2,1x2,2…x2,25…………x100,1x100,2…x100,25表21,1x2,1x…25,1x1,2x2,2x…25,2x…………1,100x2,100x…25,100x