1997年全国高中数学联赛试题及解答

-1-1997年全国高中数学联合竞赛试卷第一试(10月5日上午8:0010:00)一、选择题(每小题6分，共36分)1．已知数列{xn}满足xn+1=xn－xn－1(n≥2)，x1=a，x2=b，记Sn=x1+x2++xn，则下列结论正确的是(A)x100a，S100=2ba(B)x100b，S1002ba(C)x100b，S100=ba(D)x100a，S100ba2．如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得AEEB=CFFD=λ(0λ+∞)，记f(λ)=αλ+βλ其中αλ表示EF与AC所成的角，βλ表示EF与BD所成的角，则(A)f(λ)在(0，+∞)单调增加(B)f(λ)在(0，+∞)单调减少(C)f(λ)在(0，1)单调增加，而在(1，+∞单调减少(D)f(λ)在(0，+∞)为常数3．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个4．在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x－2y+3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为(A)(0，1)(B)(1，+∞)(C)(0，5)(D)(5，+∞)5．设f(x)=x2－πx，arcsin13，β=arctan54，γ=arcos(－13)，=arccot(－54)，则(A)f(α)f(β)f()f(γ)(B)f(α)f()f(β)f(γ)(C)f()f(α)f(β)f(γ)(D)f()f(α)f(γ)f(β)6．如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有(A)0条(B)1条(C)多于1的有限条(D)无穷多条二．填空题(每小题9分，共54分)1．设x，y为实数，且满足(x－1)3+1997(x－1)=－1，(y－1)3+1997(y－1)=1．则x+y.2．过双曲线x2－y22=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数λ使得|AB|λ的直线l恰有3条，则λ=.3．已知复数z满足2z+1z=1，则z的幅角主值范围是．4．已知三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为．5．设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种．6．设alogz+log[x(yz)1+1]，blogx1+log(xyz+1)，clogy+log[(xyz)1+1]，记a，b，c中最大数为M，则M的最小值为．三、（本题满分20分）设x≥y≥z≥π12，且x+y+zπ2，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．EFBCDA-2-四、(本题满分20分)设双曲线xy1的两支为C1，C2(如图)，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上．(1)求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；(2)设P(1，1)在C2上，Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标．五、(本题满分20分)设非零复数a1，a2，a3，a4，a5满足a2a1=a3a2=a4a3=a5a4，a1+a2+a3+a4+a5=4(1a1+1a2+1a3+1a4+1a5)=S．其中S为实数且|S|≤2．求证：复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．yxOP(1,1)C1C2-3-第二试(10月5日上午10:3012:30)一、（本题50分）如图，已知两个半径不相等的⊙O1与⊙O2相交于M、N两点，且⊙O1、⊙O2分别与⊙O内切于S、T两点。求证：OM⊥MN的充分必要条件是S、N、T三点共线。二、（本题50分）试问：当且仅当实数x0，x1，…，xn（n≥2）满足什么条件时，存在实数y0，y1，…，yn使得z20=z21+z22+…+z2n成立，其中zk=xk+iyk，i为虚数单位，k=0，1，…，n。证明你的结论。三、（本题50分）在100×25的长方形表格中每一格填入一个非负实数，第i行第j列中填入的数为xi,j（i=1，2，…，100；j=1，2，…，25）（如表1）。然后将表1每列中的数按由小到大的次序从上到下重新排列为x1,j≥x2,j≥…≥x100,j（j=1，2，…，25）。（如表2）求最小的自然数k，使得只要表1中填入的数满足25Σj=1xi，j≤1（i=1，2，…，100），则当i≥k时，在表2中就能保证25Σj=1xi，j≤1成立。表1表2x1,1x1,2…x1,25x1,1x1,2…x1,25x2,1x2,2…x2,25x2,1x2,2…x2,25……………………x100,1x100,2…x100,25x100,1x100,2…x100,25-4-1997年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1．已知数列{xn}满足xn+1=xn－xn－1(n≥2)，x1=a，x2=b，记Sn=x1+x2++xn，则下列结论正确的是(A)x100a，S100=2ba(B)x100b，S1002ba(C)x100b，S100=ba(D)x100a，S100ba解：x1=a，x2=b，x3=b－a，x4=－a，x5=－b，x6=a－b，x7=a，x8=b，…．易知此数列循环，xn+6=xn，于是x100=x4=－a，又x1+x2+x3+x4+x5+x6=0，故S100=2b－a．选A．2．如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得AEEB=CFFD=λ(0λ+∞)，记f(λ)=αλ+βλ其中αλ表示EF与AC所成的角，βλ表示EF与BD所成的角，则(A)f(λ)在(0，+∞)单调增加(B)f(λ)在(0，+∞)单调减少(C)f(λ)在(0，1)单调增加，而在(1，+∞单调减少(D)f(λ)在(0，+∞)为常数解：作EG∥AC交BC于G，连GF，则AEEB=CGGB=CFFD，故GF∥BD．故∠GEF=αλ，∠GFE=βλ，但AC⊥BD，故∠EGF=90°．故f(λ)为常数．选D．3．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个解：设首项为a，公差为d，项数为n，则na+12n(n－1)d=972，n[2a+(n－1)d]=2×972，即n为2×972的大于3的约数．∴⑴n=972，2a+(972－1)d=2，d=0，a=1；d≥1时a0．有一解；⑵n=97，2a+96d=194，d=0，a=97；d=1，a=a=49；d=2，a=1.有三解；⑶n=2×97，n=2×972，无解．n=1，2时n3.．选C4．在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x－2y+3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为(A)(0，1)(B)(1，+∞)(C)(0，5)(D)(5，+∞)解：看成是轨迹上点到(0，－1)的距离与到直线x－2y+3=0的距离的比：x2+(y+1)2|x－2y+3|12+(－2)2=5m1m5，选D．5．设f(x)=x2－πx，arcsin13，β=arctan54，γ=arcos(－13)，=arccot(－54)，则(A)f(α)f(β)f()f(γ)(B)f(α)f()f(β)f(γ)(C)f(i)f(α)f(β)f(γ)(D)f()f(α)f(γ)f(β)解：f(x)的对称轴为x=π2，易得，0απ6π4βπ3π2γ2π33π4δ5π6．选B．6．如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有(A)0条(B)1条(C)多于1的有限条(D)无穷多条解：在a、b、c上取三条线段AB、CC、AD，作一个平行六面体ABCD—ABCD，在c上取线段AD上一点P，过a、P作一个平面，与DD交于Q、与CC交于R，则QR∥a，于是PR不与a平行，但PR与a共面．故PR与a相交．由于可以取无穷多个点P．故选D．二．填空题(每小题9分，共54分)1．设x，y为实数，且满足(x－1)3+1997(x－1)=－1，(y－1)3+1997(y－1)=1．则x+y.B‘C’D’A‘BCDASQPRacbEFBCDA-5-解：原方程组即(x－1)3+1997(x－1)+1=0，(1－y)3+1997(1－y)+1=0．取f(t)=t3+1997t+1，f(t)=3t2+19870．故f(t)单调增，现x－1=1－y，x+y=2．2．过双曲线x2－y22=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数λ使得|AB|λ的直线l恰有3条，则λ=．解：右支内最短的焦点弦=2b2a=4．又2a=2，故与左、右两支相交的焦点弦长≥2a=2，这样的弦由对称性有两条．故λ=4时设AB的倾斜角为θ，则右支内的焦点弦λ=2ab2a2－c2cos2θ=41－3cos2θ≥4，当θ=90°时，λ=4．与左支相交时，θ=±arccos23时，λ=2ab2a2－c2cos2θ=41－3cos2θ=4．故λ=4．3．已知复数z满足2z+1z=1，则z的幅角主值范围是．解：2z+1z=14r4+(4cos2θ－1)r2+1=0，这个等式成立等价于关于x的二次方程4x2+(4cos2θ－1)x+1=0有正根．△=(4cos2θ－1)2－16≥0，由x1x2=140，故必须x1+x2=－4cos2θ－140．∴cos2θ≤－34．∴(2k+1)π－arccos34≤2θ≤(2k+1)π+arccos34．∴kπ+π2－12arccos34≤θ≤kπ+π2+12arccos34，(k=0，1)4．已知三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为．解：SA=SB=SC=2，S在面ABC上的射影为AB中点H，∴SH⊥平面ABC．∴SH上任意一点到A、B、C的距离相等．∵SH=3，CH=1，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O为SABC的外接球球心．SM=1，∴SO=233，∴OH=33，即为O与平面ABC的距离．5．设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种．解：青蛙跳5次，只可能跳到B、D、F三点(染色可证)．青蛙顺时针跳1次算+1，逆时针跳1次算－1，写5个“□1”，在□中填“+”号或“－”号：□1□1□1□1□1规则可解释为：前三个□中如果同号，则停止填写；若不同号，则后2个□中继续填写符号．前三□同号的方法有2种；前三个□不同号的方法有23－2=6种，后两个□中填号的方法有22种．∴共有2+6×4=26种方法．6．设alogz+log[x(yz)1+1]，blogx1+log(xyz+1)，clogy+log[(xyz)1+1]，记a，b，c中最大数为M，则M的最小值为．解：a=log(xy+z)，b=log(yz+1x)，c=log(1yz+y)．∴a+c=log(1yz+1x+yz+x)≥2log2．于是a、c中必有一个≥log2．即M≥log2，于是M的最小值≥log2．但取x=y=z=1，得a=b=c=log2．即此时M=log2．于是M的最小值≤log2．∴所求值=log2．三、（本题满分20分）设x≥y≥z≥12，且x+y+z=2，求