1997年硕士研究生入学考试试题(苏州大学)

1997年硕士研究生入学考试试题（苏州大学）一、简答题（每题8分，共40分）1、设ˆU为么正算符，而11ˆˆˆˆˆˆ,22AUUBUUi，试证：（1）ˆA和ˆB均为厄密算符；（2）22ˆˆ1AB。2、已知ˆ,1,1Llmlmlmlm，（1）写出矩阵元ˆ,,lmLlm的表达式；（2）若2,l试写出ˆL的全部不为零的矩阵元。3、氢原子处于态433141104111122,,333rRYRYRY中，问（1）,,r是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。若不是，说明理由；（2）在,,r中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少？4、一小球在xy平面内绕原点转动。试写出同时确定此转子的方位角和角动量分量zL的不准关系。二、（15分）粒子被约束在半径为r的圆周上运动，（1）设立路障进一步限制粒子在00的一段圆弧上运动，000,0,2U求粒子的能量本征值和本征函数；（2）设粒子处于（1）的基态，突然撤去路障后，粒子仍然在最低能态的几率是多少？三、（15分）一量子体系的哈密顿算符0ˆˆˆ,HHH在0ˆH表象中40ˆ0200100H，00ˆ00000kHk其中常数1k，（1）用微扰法求体系的能级，精确到二级近似；（2）求出体系能量的精确解，并与（1）式结果比较。四、（15分）考虑微弱地相互作用着的三个玻色子组成的系统，各粒子皆处于已知的单粒子态,iqj其中iq表示包含空间和自旋运动的第i个态，j表示第j个粒子的所有坐标。试写出系统的各种可能的零级近似波函数。五、（15分）设一带电为q，质量为,m在宽度为a的一维无限深势阱中运动，在入射光照射下发生跃迁，光波长a，求跃迁选择定则。1999年：一、简答题（40分）1、与1997年“一、2”同2、一量子体系的哈密顿算符30ˆ10,1,002bHbb用微扰论求体系能量至二级近似；3、能量为20EMeV的中子受到力程1510am的势场作用，如用分波法求散射截面，需计算几个分波相移？设忆求出相移，写出计算散射总截面的表达式。（27341.610,1.0510)nmkgJs。4、有一双电子体系，其单电子基态波函数的空间部分用1siniiirra描述，其中i为电子的编号。若以i和i分别表示电子自旋向上和向下波函数，试写出描述该体系的基态波函数。5、设氢原子处于态20021020021112133,22132zrrrsrr问,zrs是否是能量本征态？若是，写出其本征值。又问在该态中测量角动量2,L角动量分量zL及自旋磁矩的分量szM的平均值各为多少？二、设123,,uuu为一组正交归一基，已知在这组基张成的希尔伯特空间中ˆH和ˆA的矩阵为000000ˆˆ00,000000EaHEAaEa。1、ˆH和ˆA是否存在共同的本征函数？写出这些本征函数相应的本征值。2、2ˆˆ,HA或ˆˆ,HA能否构成完全测量集合？为什么？3、若0t时，体系处于态011233中，测量其能量的可能值、相应几率及平均值的结果是什么？是否隨时间变化？为什么？（20分）三、自旋磁矩为eSm的电子处于磁场000cos,sin,BBtBtB中，1、写出电子的哈密顿算符在zS表象中的矩阵形式；2、设电子在0t时处于2zS的态（用）表示，把哈密顿算符中与时间有关的部分作为微扰，求在微扰作用下到时刻t电子跃迁到2zS态几率的几率表式。（记2BeMm）（20分）四、求在2ˆˆ,zLL的共同本征态,lm中，ˆxL，ˆyL及22ˆˆ,xyLL的平均值，并由此导出在该态中同时测量ˆˆ,xyLL的测不准关系。（20分）2000年一、回答下列问题（40分）1、若系统的波函数的形式为12,iiEtEtxtxexe，问,xt是否定态波函数？为什么？2、算符ˆA和ˆB满足对易关系，ˆˆˆˆˆ,1,BACAB是厄密算符，且满足本征方程ˆ,C问（1）状态ˆA是否ˆC的本征态？若是，写出本征值。若不是，说明理由。（2）算符ˆA和ˆB是否厄密算符？用简单的算符运算说明之。3、粒子处于态2sin,xAkx其中k为波数，求其动量取2k的几率；4、氢原子的波函数100210211211223r，求能量的可能值、相应几率和平均值。5、与1997年“一、2”同二、（15分）一量子体系的哈密顿算符0ˆˆˆ,HHH在0ˆH为对角表象中的矩阵形式为040000ˆˆ020,00,1001000kHHkk1、用微扰法求体系的能量，精确到二级近似；2、求精确解，与1、比较。三、（15分）ˆA和ˆB是属于同一体系的两个互相对易的力学量算符，1、若12,是属于ˆA的不同本征值的本征态，试证明12ˆ0B；2、问：当体系处于力学量ˆA的本征态时，力学量ˆB是否有确定值？试就ˆA的本征值简并与非简并两种情形加以说明。四、（20分）自旋为12的粒子，处于一维无限深势阱0,0,0,xaUxxxa之中，写出势阱内单粒子能级和波函数。1、计及自旋每个能级有多少个状态？说明理由。2、计算势阱中的态密度。（即每单位能量间隔内有多少个不同的状态。）3、若N个粒子按能量最低原理填充能级，当体系处于最低能量状态时，单粒子的最大动能是多少？五、（10分）设有两个电子，自旋态分别为112zS和122xS，求两个电子处于自旋单态（0S）及自旋三重态1S的几率。