1998年全国高中数学联赛试题及解答

1998年全国高中数学联赛冯惠愚-1-一九九八年全国高中数学联合竞赛一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．若a1,b1,且lg(a+b)=lga+lgb,则lg(a–1)+lg(b–1)的值()（A）等于lg2（B）等于1(C)等于0(D)不是与a,b无关的常数2.若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a–5},B={x|3≤x≤22},则能使AA∩B成立的所有a的集合是()（A）{a|1≤a≤9}(B){a|6≤a≤9}(C){a|a≤9}(D)Ø3.各项均为实数的等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40等于()(A)150(B)200(C)150或200(D)50或4004.设命题P：关于x的不等式a1x2+b1x2+c10与a2x2+b2x+c20的解集相同；命题Q：a1a2=b1b2=c1c2．则命题Q()(A)是命题P的充分必要条件(B)是命题P的充分条件但不是必要条件(C)是命题P的必要条件但不是充分条件(D)既不是是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件5.设E,F,G分别是正四面体ABCD的棱AB,BC,CD的中点,则二面角C—FG—E的大小是()(A)arcsin63(B)π2+arccos33(C)π2－arctan2(D)π－arccot226.在正方体的8个顶点,12条棱的中点,6个面的中心及正方体的中心共27个点中,共线的三点组的个数是()(A)57(B)49(C)43(D)371998年全国高中数学联赛冯惠愚-2-二、填空题(本题满分54分,每小题9分)各小题只要求直接填写结果.1．若f(x)(xR)是以2为周期的偶函数,当x[0,1]时,f(x)=x11000，则f(9819)，f(10117)，f(10415)由小到大排列是．2．设复数z=cosθ+isinθ(0≤θ≤180°)，复数z，(1+i)z，2－z在复平面上对应的三个点分别是P,Q,R.当P,Q,R不共线时,以线段PQ,PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S,点S到原点距离的最大值是___________.3．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数中取出3个数,使其和为不小于10的偶数,不同的取法有________种.4．各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的数列至多有_______项.5．若椭圆x2+4(y－a)2=4与抛物线x2=2y有公共点，则实数a的取值范围是．6．ABC中,C=90o,B=30o,AC=2,M是AB的中点.将ACM沿CM折起,使A,B两点间的距离为22，此时三棱锥A-BCM的体积等于__________.三、（本题满分20分）已知复数z=1－sinθ+icosθ(π2θπ)，求z的共轭复数－z的辐角主值．四、（本题满分20分）设函数f(x)=ax2+8x+3(a0)．对于给定的负数a,有一个最大的正数l(a),使得在整个区间[0,l(a)]上,不等式|f(x)|5都成立．问：a为何值时l(a)最大?求出这个最大的l(a)．证明你的结论.1998年全国高中数学联赛冯惠愚-3-五、（本题满分20分）已知抛物线y2=2px及定点A(a,b),B(–a,0),(ab0,b22pa)．M是抛物线上的点,设直线AM,BM与抛物线的另一交点分别为M1,M2．求证：当M点在抛物线上变动时(只要M1,M2存在且M1M2)，直线M1M2恒过一个定点．并求出这个定点的坐标．1998年全国高中数学联赛冯惠愚-4-第二试一、（满分50分）如图，O、I分别为△ABC的外心和内心，AD是BC边上的高，I在线段OD上。求证：△ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径。注：△ABC的BC边上的旁切圆是与边AB、AC的延长线以及边BC都相切的圆。二、（满分50分）设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈[1，2]且nΣi=1a2i=nΣi=1b2i，求证：nΣi=1a3ibi≤1710nΣi=1a2i．并问：等号成立的充要条件．1998年全国高中数学联赛冯惠愚-5-三、（满分50分）对于正整数a、n，定义Fn(a)=q＋r，其中q、r为非负整数，a=qn＋r，且0≤r＜n．求最大的正整数A，使得存在正整数n1，n2，n3，n4，n5，n6，对于任意的正整数a≤A，都有Fn6(Fn5(Fn4(Fn3(Fn2(Fn1(a))))))=1．证明你的结论．1998年全国高中数学联赛冯惠愚-6-一九九八年全国高中数学联赛解答第一试一．选择题（本题满分36分，每小题6分）1．若a1,b1,且lg(a+b)=lga+lgb,则lg(a–1)+lg(b–1)的值()（A）等于lg2（B）等于1(C)等于0(D)不是与a,b无关的常数解：a+b=ab，(a－1)(b－1)=1，由a－10，b－10，故lg(a－1)(b－1)=0，选C．2．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a–5},B={x|3≤x≤22},则能使AA∩B成立的所有a的集合是()（A）{a|1≤a≤9}(B){a|6≤a≤9}(C){a|a≤9}(D)Ø解：AB，A≠Ø．3≤2a+1≤3a－5≤22，6≤a≤9．故选B．3．各项均为实数的等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40等于()(A)150(B)200(C)150或200(D)50或400解：首先q≠1，于是，a1q－1(q10－1)=10，a1q－1(q30－1)=70，∴q20+q10+1=7．q10=2．(－3舍)∴S40=10(q40－1)=150．选A．4.设命题P：关于x的不等式a1x2+b1x2+c10与a2x2+b2x+c20的解集相同;命题Q：a1a2=b1b2=c1c2．则命题Q()(A)是命题P的充分必要条件(B)是命题P的充分条件但不是必要条件(C)是命题P的必要条件但不是充分条件(D)既不是是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件解：若两个不等式的解集都是R，否定A、C，若比值为－1，否定A、B，选D．5.设E,F,G分别是正四面体ABCD的棱AB,BC,CD的中点,则二面角C—FG—E的大小是()1998年全国高中数学联赛冯惠愚-7-(A)arcsin63(B)π2+arccos33(C)π2－arctan2(D)π－arccot22解：取AD、BD中点H、M，则EH∥FG∥BD，于是EH在平面EFG上．设CM∩FG=P，AM∩EH=Q，则P、Q分别为CM、AM中点，PQ∥AC．∵AC⊥BD，PQ⊥FG，CP⊥FG，∠CPQ是二面角C—FG—E的平面角．设AC=2，则MC=MA=3，cos∠ACM=22+(3)2－(3)22·2·3=33．∴选D．6.在正方体的8个顶点,12条棱的中点,6个面的中心及正方体的中心共27个点中,共线的三点组的个数是()(A)57(B)49(C)43(D)37解：8个顶点中无3点共线，故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心．⑴体中心为中点：4对顶点，6对棱中点，3对面中心；共13组；⑵面中心为中点：4×6=24组；⑶棱中点为中点：12个．共49个，选B．二、填空题(本题满分54分,每小题9分)各小题只要求直接填写结果.1．若f(x)(xR)是以2为周期的偶函数,当x[0,1]时,f(x)=x11000，则f(9819)，f(10117)，f(10415)由小到大排列是．解：f(9819)=f(6－1619)=f(1619)．f(10117)=f(6－117)=f(117)，f(10415)=f(6+1415)=f(1415)．现f(x)是[0，1]上的增函数．而11716191415．故f(10117)f(9819)f(10415)．2．设复数z=cosθ+isinθ(0≤θ≤180°)，复数z，(1+i)z，2－z在复平面上对应的三个点分别是P,Q,R.当P,Q,R不共线时,以线段PQ,PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S,点S到原点距离的最大值是___________.PQMHADCBGFESQPRxOy1998年全国高中数学联赛冯惠愚-8-解：→OS=→OP+→PQ+→PR=→OP+→OQ－→OP+→OR－→OP=→OQ+→OR－→OP=(1+i)z+2－z－z=iz+2－z=(2cosθ－sinθ)+i(cosθ－2sinθ)．∴|OS|2=5－4sin2θ≤9．即|OS|≤3，当sin2θ=1，即θ=π4时，|OS|=3．3．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数中取出3个数,使其和为不小于10的偶数,不同的取法有________种.解：从这10个数中取出3个偶数的方法有C35种，取出1个偶数，2个奇数的方法有C15C25种，而取出3个数的和为小于10的偶数的方法有(0，2，4)，(0，2，6)，(0，1，3)，(0，1，5)，(0，1，7)，(0，3，5)，(2，1，3)，(2，1，5)，(4，1，3)，共有9种，故应答10+50－9=51种．4．各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的数列至多有_______项.解：设其首项为a，项数为n．则得a2+(n－1)a+2n2－2n－100≤0．△=(n－1)2－4(2n2－2n－100)=－7n2+6n+401≥0．∴n≤8．取n=8，则－4≤a≤－3．即至多8项．(也可直接配方：(a+n－12)2+2n2－2n－100－(n－12)2≤0．解2n2－2n－100－(n－12)2≤0仍得n≤8．)5．若椭圆x2+4(y－a)2=4与抛物线x2=2y有公共点，则实数a的取值范围是．解：2y=4－4(y－a)2，2y2－(4a－1)y+2a2－2=0．此方程至少有一个非负根．∴△=(4a－1)2－16(a2－1)=－8a+17≥0．a≤178．两根皆负时2a22，4a－10．－1a1且a14．即a－1．∴－1≤a≤178．6．ABC中,C=90o,B=30o,AC=2,M是AB的中点.将ACM沿CM折起,使A,B两点间的距离为22，此时三棱锥A－BCM的体积等23222AEMDCB1998年全国高中数学联赛冯惠愚-9-于．解：由已知，得AB=4，AM=MB=MC=2，BC=23，由△AMC为等边三角形，取CM中点，则AD⊥CM，AD交BC于E，则AD=3，DE=33，CE=233．折起后，由BC2=AC2+AB2，知∠BAC=90°，cos∠ECA=33．∴AE2=CA2+CE2－2CA·CEcos∠ECA=83，于是AC2=AE2+CE2．∠AEC=90°．∵AD2=AE2+ED2，AE⊥平面BCM，即AE是三棱锥A－BCM的高，AE=263．S△BCM=3，VA—BCM=223．三、（本题满分20分）已知复数z=1－sinθ+icosθ(π2θπ)，求z的共轭复数－z的辐角主值．解：z=1+cos(π2+θ)+isin(π2+θ)=2cos2π2+θ2+2isinπ2+θ2cosπ2+θ2=2cosπ2+θ2(cosπ2+θ2+isinπ2+θ2)．当π2θπ时，－z=－2cosπ2+θ2(－cosπ2+θ2+isinπ2+θ2)=－2cos(π4+θ2)(cos(3π4－θ2)+isin(3π4－θ2))．∴辐角主值为3π4－θ2．四、（本题满分20分）设函数f(x)=ax2+8x+3(a0)．对于给定的负数a,有一个最大的正数l(a),使得在整个区间[0,l(a)]上,不等式|f(x)|5都成立．问：a为何值时l(a)最大?求出这个最大的l(a)．证明你的结论．解：f(x)＝a(x+4a)2+3－16a．(1)当3－16a＞5，即－8＜a＜0时，l(a)是方程ax2+8x+3＝5的较小根，故l(a)＝－8+64+8a2a．2223222EBCAMD1998年全国高中数学联赛冯惠愚-1