1998年全国高考文科数学试题及其解析

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－第(15)题每小题5分，65分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的奎屯王新敞新疆(1)sin600º()(A)21(B)－21(C)23(D)－23(2)函数y=a|x|(a＞1)的图像是()(3)已知直线x=a(a＞0)和圆(x－1)2＋y2=4相切，那么a的值是()(A)5(B)4(C)3(D)2(4)两条直线A1x＋B1y＋C1=0，A2x＋B2y＋C2=0垂直的充要条件是()(A)A1A2＋B1B2=0(B)A1A2－B1B2=0(C)12121BBAA(D)12121AABB(5)函数f(x)=x1(x≠0)的反函数f－1(x)=()(A)x(x≠0)(B)x1(x≠0)(C)－x(x≠0)(D)－x1(x≠0)(6)已知点P(sinα－cosα，tgα)在第一象限，则[0，2π]内α的取值范围是()(A)(432，)∪(45，)(B)(24，)∪(45，)(C)(432，)∪(2325，)(D)(24，)∪(，43)(7)已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为()(A)120º(B)150º(C)180º(D)240º(8)复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是()(A)2123I(B)－2123I(C)±2123I(D)±2123i(9)如果棱台的两底面积是S，S′，中截面的面积是S0，那么()(A)2SSS0(B)S0=SS(C)2S0=S＋S′(D)SSS220(10)2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共()(A)6种(B)12种(C)18种(D)24种(11)向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是()(12)椭圆31222yx=1的焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是()(A)±43(B)±23(C)±22(D)±43(13)球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为()(A)43(B)23(C)2(D)3(14)一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为()(A)251(B)2252(C)215(D)2252(15)等比数列{an}的公比为－21，前n项的和Sn满足nlimSn=11a，那么11a的值为()(A)3(B)±23(C)2(D)26二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．(16)设圆过双曲线116922yx的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆心到双曲线中心距离是__________奎屯王新敞新疆(17)(x＋2)10(x2－1)的展开的x10系数为____________（用数字作答）奎屯王新敞新疆(18)如图，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件____________时，有A1C⊥B1D1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考试所有可能的情形奎屯王新敞新疆)(19)关于函数f(x)=4sin(2x＋3)(x∈R)，有下列命题①y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x－6)；②y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；③y=f(x)的图像关于点06，对称；④y=f(x)的图像关于直线x=－6对称．其中正确的命题的序号是______奎屯王新敞新疆(注：把你认为正确的命题的序号都．填上．)三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(20)(本小题满分10分)设a≠b，解关于x的不等式a2x＋b2(1－x)≥[ax＋b(1－x)]2．21)(本小题满分11分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a＋c=2b，A－C=3，求sinB的值．以下公式供解题时参考：2cos2sin2sinsin，2sin2cos2sinsin，2cos2cos2coscos，2sin2sin2coscos．(22)(本小题满分12分)如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线C的方程．(23)(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90º，BC=2，AC=23，且AA1⊥A1C，AA1=A1C1．(Ⅰ)求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；(Ⅱ)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；(Ⅲ)求侧棱B1B和侧面A1ACC1的距离．(24)(本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)．(25)(本小题满分12分)已知数列{bn}是等差数列，b1=1，b1＋b2＋…＋b10=100．(Ⅰ)求数列{bn}的能项bn；(Ⅱ)设数列{an}的通项an=lg(1＋nb1)，记Sn是数列{an}的前n项的和．试比较Sn与21lgbn+1的大小，并证明你的结论．1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1)D(2)B(3)C(4)A(5)B(6)B(7)C(8)D(9)A(10)B(11)B(12)A(13)B(14)C(15)D二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)316(17)－5120(18)AC⊥BD，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD是正方形，菱形等(19)①，③注：第(19)题多填、漏填的错填均给0分．三．解答题：（20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分．解：将原不等式化为(a2－b2)x+b2≥(a－b)2x2＋2(a－b)bx＋b2，移项，整理后得(a－b)2(x2－x)≤0，∵a≠b即(a－b)2＞0，∴x2－x≤0，即x(x－1)≤0．解此不等式，得解集{x|0≤x≤1}．(21)本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．满分11分．解：由正弦定理和已知条件a＋c=2b得sinA＋sinC=2sinB．由和差化积公式得BCACAsin22cos2sin2．由A＋B＋C=π，得2)sin(CA=2cosB，又A－C=3，得23cos2B=sinB，∴23cos2B=2sin2Bcos2B．∵0＜2B＜2，2cosB≠0，∴sin2B=43，从而cos2B=2sin12B=413∴sinB=23413=839(22)本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．满分12分．解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛线段的一段，其中A、B分别为C的端点．设曲线段C的方程为y2=2px(p＞0)，(xA≤x≤xB，y＞0)，其中xA，xB分别为A，B的横坐标，P=|MN|．所以M(－2P，0)，N(2P，0)．由|AM|=17，|AN|=3得(xA＋2P)2＋2PxA=17，①(xA－2P)2＋2PxA=9．②由①、②两式联立解得xA=P4，再将其代入①式并由p＞0解得14Axp或22Axp．因为△AMN是锐角三角形，所以2P＞xA，故舍去22Axp．∴P=4，xA=1．由点B在曲线段C上，得xB=|BN|－2P=4．综上得曲线段C的方程为y2=8x(1≤x≤4，y＞0)．解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点．作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为E、D、F．设A(xA，yA)、B(xB，yB)、N(xN，0)．依题意有xA=|ME|=|DA|=|AN|=3，yA=|DM|=22DAAM=22，由于△AMN为锐角三角形，故有xN=|AE|+|EN|=4．=|ME|+22AEAN=4XB=|BF|=|BN|=6．设点P(x，y)是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合{(x，y)|(x－xN)2+y2=x2，xA≤x≤xB，y＞0}．故曲线段C的方程y2=8(x－2)(3≤x≤6，y＞0)．(23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分．解：(Ⅰ)作A1D⊥AC，垂足为D，由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC，∴∠A1AD为A1A与面ABC所成的角．∵AA1⊥A1C，AA1=A1C，∴∠A1AD=45º为所求．(Ⅱ)作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB．∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角．由已知，AB⊥BC，得ED∥BC．又D是AC的中点，BC=2，AC=23，∴DE=1，AD=A1D=3，tgA1ED=DEDA1=3．故∠A1ED=60º为所求．(Ⅲ)作BF⊥AC，F为垂足，由面A1ACC1⊥面ABC，知BF⊥面A1ACC1．∵B1B∥面A1ACC1，∴BF的长是B1B和面A1ACC1的距离．在Rt△ABC中，2222BCACAB，∴362ACBCABBF为所求．(24)本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．满分12分．解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=abk，其中k＞0为比例系数，依题意，即所求的a，b值使y值最小．根据题设，有4b＋2ab＋2a=60(a＞0，b＞0)，得aab230(0＜a＜30＝，①于是aaakabky230226432aak264234aak2642234aak18k当a＋2=264a时取等号，y达最小值．这时a=6，a=－10(舍去)．将a=6代入①式得b=3．故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大．由题设知4a＋2ab＋2a=60(a＞0，b＞0)即a＋2b＋ab=30(a＞0，b＞0)．∵a＋2b≥2ab，∴22ab＋ab≤30，当且仅当a=2b时，上式取等号．由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18．即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值18．∴2b2=18．解得b=3，a=6．故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(25)本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分．解：(Ⅰ)设数列工{bn}的公差为d，由题意得b1=1，10b1＋d2)