1999年全国高中数学联赛试卷及答案

11999年全国高中数学联合竞赛试卷第一试一、选择题本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1．给定公比为q(q1)的等比数列{an}，设b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,bn=a3n2+a3n1+a3n,…，则数列{bn}【答】（）(A)是等差数列(B)是公比为q的等比数列(C)是公比为q3的等比数列(D)既非等差数列也非等比数列2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(|x|1)2+(|y|1)2＜2的整点(x,y)的个数是【答】（）(A)16(B)17(C)18(D)253．若(log23)x(log53)x≥(log23)y(log53)y，则【答】（）(A)xy≥0(B)x+y≥0(C)xy≤0(D)x+y≤04．给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面上的直线a与平面上的直线b为异面直线，直线c是与的交线，那么，c至多与a,b中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。那么【答】（）(A)命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确(B)命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确(C)两个命题都正确(D)两个命题都不正确5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是【答】（）(A)0(B)1(C)2(D)36．已知点A(1,2)，过点(5,2)的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B,C，那么，△ABC是(A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)直角三角形(D)不确定【答】（）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。7.已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是___________.8.已知=arctg125，那么，复数iiz2392sin2cos的辐角主值是_________.9.在△ABC中，记BC=a，CA=b，AB=c，若9a2+9b219c2=0，则BACctgctgctg=__________.10.已知点P在双曲线191622yx上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P的横坐标是_____.11.已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{3,2,1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是______.212.已知三棱锥SABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角HABC的平面角等于30,SA=23。那么三棱锥SABC的体积为__________.三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13.已知当x[0,1]时，不等式0sin)1()1(cos22xxxx恒成立，试求的取值范围。314.给定A(2,2)，已知B是椭圆1162522yx上的动点，F是左焦点，当|AB|+35|BF|取最小值时，求B的坐标。15.给定正整数n和正数M，对于满足条件2121naa≤M的所有等差数列a1,a2,a3,….，试求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值。4第二试一、(满分50分)如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：∠GAC=∠EAC.ABCDEFG5二、(满分50分)给定实数a,b,c，已知复数z1,z2,z3满足：11||||||133221321zzzzzzzzz，求|az1+bz2+cz3|的值。6三、(满分50分)给定正整数n，已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,…,n克的所有物品。（1）求k的最小值f(n)；（2）当且仅当n取什么值时，上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。71999年全国高中数学联合竞赛答案一、选择题题号123456答案CABDBC提示：1.(C).由题设，11nnqaa，因此，nb是公比为3q的等比数列.2.(A)由21||1||22yx,可得(|x|-1,|y|-1)为(0，0)，(0，1)，(0，-1)，(1，0)或(-1，0).从而，不难得到(x,y)共有16个.3.(B)记f(t)=tt3log3log52，则f(t)在R上是严格增函数.原不等式即f(x)≥f(-y).故x≥-y，即x+y≥0.4.(D).易知命题Ⅰ不正确；又可以取无穷多个平行平面，在每个平面上取一条直线，且使这些直线两两不同向，则这些直线中的任意两条都是异面直线，从而命题Ⅱ也不正确.5.(B)设这三名选手之间的比赛场数是r，共n名选手参赛.由题意，可得50623rCn，即243nn=44+r.由于0≤r≤3，经检验可知，仅当r=1时，n=13为正整数.6.(C)设B(t2,2t),C(s2,2s),s≠t,s≠1,t≠1，则直线BC的方程为，化得2x-(s+t)y+2st=0.由于直线BC过点(5，-2)，故2×5-(s+t)(-2)+2st=0，即(s+1)(t+1)=-4.因此，1114stkkACAB,所以，∠BAC=90°，从而△ABC是直角三角形.二、填空题题号789101112答案656443提示：7.6.首项为a为的连续k个正整数之和为21212kkkkaSk由Sk≤2000，可得60≤k≤62.当k=60时，Sk=60a+30×59，由Sk≤2000，可得a≤3，故Sk=1830,1890,1950；当k=61时，Sk=61a+30×61，由Sk≤2000，可得a≤2，故Sk=1891，1952；当k=62时，Sk=62a+31×61，由Sk≤2000，可得a≤1，故Sk=1953.8于是，题中的n有6个.8.4z的辐角主值argz=arg［(12+5i)2(239-i)］=arg［(119+120i)(239-i)］=arg［28561+28561i］=49..10.记半实轴、半虚轴、半焦距的长分别为a、b、c，离心率为e，点P到右准线l的距离为d，则a=4,b=3,c=5,,右准线l为.如果P在双曲线右支，则|PF1|=|PF2|+2a=ed+2a.从而，|PF1|+|PF2|=(ed+2a)+ed=2ed+2a2d，这不可能；故P在双曲线的左支，则|PF2|－|PF1|=2a,|PF1|+|PF2|=2d.两式相加得2|PF2|=2a+2d.又|PF2|=ed,从而ed=a+d.故161ead.因此，P的横坐标为5642dcax.11.43设倾斜角为θ，则tgθ=-0.不妨设a0，则b0.(1)c=0,a有三种取法，b有三种取法，排除2个重复(3x-3y=0,2x-2y=0与x-y=0为同一直线)，故这样的直线有3×3-2=7条；(2)c≠0，则a有三种取法，b有三种取法，c有四种取法，且其中任两条直线均不相同，故这样的直线有3×3×4=36条.从而，符合要求的直线有7+36=43条.12.由题设，AH⊥面SBC.作BH⊥SC于E.由三垂线定理可知SC⊥AE，SC⊥AB.故SC⊥面ABE.设S在面ABC内射影为O，则SO⊥面ABC.由三垂线定理之逆定理，可知CO⊥AB于F.同理，BO⊥AC.故O为△ABC的垂心.又因为△ABC是等边三角形，故O为△ABC的中心，从而SA=SB=SC=.因为CF⊥AB，CF是EF在面ABC上的射影，由三垂线定理，EF⊥AB.所以，∠EFC是二面角H-AB-C的平面角.故∠EFC=30°，OC=SCcos60°=3，SO=OCtg60°=3.又OC=33AB，故AB=3OC=3.所以，VS-ABC=439.三、解答题13.若对一切x［0，1］，恒有f(x)=0sin)1()1(cos22xxxx，9则cosθ=f(1)0,sinθ=f(0)0.(1)取x(0，1)，由于xxxxxf1cossin12，所以，0xf恒成立，当且仅当01cossin2(2)先在［0,2π］中解(1)与(2)：由cosθ0,sinθ0，可得0θ2.又由（2）得sin2θ21注意到02θπ，故有62θ65,所以，12θ125.因此，原题中θ的取值范围是2kπ+12θ2kπ+125,kZ.或解：若对一切x∈［0，1］，恒有f(x)=x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2sinθ0，则cosθ=f(1)0,sinθ=f(0)0.(1)取x0=∈(0，1)，则．由于+2x(1-x)，所以，0f(x0)=2x0(1-x0)．故-+0(2)反之，当(1)，(2)成立时，f(0)=sinθ0，f(1)=cosθ0，且x∈(0，1)时，f(x)≥2x(1-x)0．先在［0,2π］中解(1)与(2)：由cosθ0,sinθ0，可得0θ.又-+0,,sin2θ,sin2θ,注意到02θπ，故有2θ,10所以，θ.因此，原题中θ的取值范围是2kπ+θ2kπ+,k∈Z14.记椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a、b、c，离心率为e.则a=5,b=4,c=3,e=53，左准线为x=325,过点B作左准线x=325的垂线，垂足为N，过A作此准线的垂线，垂足为M.由椭圆定义，|BN|=35|BF|.于是，|AB|+35|BF|=|AB|+|BN|≥|AM|(定值)，等号成立当且仅当B是AM与椭圆的交点时，此时B(235，2),所以，当|AB|+35|BF|取最小值时，B的坐标为(235，2).15.设公差为d,1na=α,则S=1221nnnaaa=(n+1)α+21nnd.故.则因此|S|≤(n+1)，且当α=,d=·时，S=(n+1)〔+··〕11=(n+1)=(n+1)由于此时4α=3nd,故．所以，S的最大值为(n+1)．1999年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准一、解析：连结BD交AC于H．对△BCD用塞瓦定理，可得因为AH是∠BAD的平分线，由角平分线定理，可得．故．过点C作AB的平行线AG的延长线于I，过点C作AD的平行线交AE的延长线于J．则.所以，从而，CI=CJ.又因为CI∥AB，CJ∥AD，故∠ACI=π-∠ABC=π-∠DAC=∠ACJ．因此，△ACI≌△ACJ．从而，∠IAC=∠JAC，即∠GAC=∠EAC二、解析：记eiθ=cosθ+isinθ．可设，，则)(31iezz．由题设，有eiθ+eiφ+e-i(θ+φ)=1.φ两边取虚部，有0=sinθ+sinφ-sin(θ+φ)12故θ=2kπ或φ=2kπ或θ+φ=2kπ，k∈Z．因而，z1=z2或z2=z3或z3=z1．如果z1=z2，代入原式即．故．这时，|az1+bz2+cz3|=|z1||a+b±ci|=．类似地，如果z2=z3,则|az1+bz2+cz3|=;如果z3=z1,则|az1+bz2+cz3|=．所以，|az1+bz2+cz3|的值为或或．三、解析：(1)设这k块砝码的质量数分别为a1,a2,…,ak，且1≤a1≤a2≤…≤ak，ai∈Z，1≤i≤k．因为天平两端都可以放砝码，故可称质量为xiai,xi∈｛-1，0，1｝．若利用这k块砝码可以称出质量为1，2，3，…,n的物品，则上述表示式中含有1，2，…，n，由对称性易知也含有0，-1，-2，…，-n，即｛xiai|xi∈｛-1