1常时滞非线性系统的稳定性分析

1常时滞线性系统的稳定性分析系统：()()()dxtAxtAxthLyapunov函数：0()()()()()()(),ttTTThhttmmVtxtPxtQdxRxdd其中()1()().1()xxhmmxhm2变时滞线性系统的稳定性分析1.1.1模型描述变时滞线性系统的一般描述如下：()()(()),xtAxtBxtdt(0-1)其中，12()[(),(),...,()]Tnxtxtxtxt是系统的状态向量；A和B为相应的常数矩阵；d(t)代表时变时滞函数，满足在一个区间里变化:12(),(),hdthdt(0-2)其中，120hh和都为常值。1.1.2新的全局渐近稳定性定理定理3.1：给定正整数m,常数1,h2,h,时滞满足(0-2)的变时滞线性系统(0-1)是渐近稳定的充分条件是：存在正定对称矩阵123,,,,PQQQ12,ZZ，任意矩阵123,,LLL满足以下线性矩阵不等式：11121212131122*00,*00,****hhLhhLLhhLmmZZZZ(0-3)112121222233122131212(1)()(),TTTTPPQQQQQQTTTQQzZZZLWPWWQWWQWWQWhWQWWZWhhWZWsymLWm(0-4)121223113123431,(3),4,(3),,3,(3),(1),(3),(2000,,,,00000,,0000,00,0,0nnmnmnmnnPQnmnnmnnmnmnnQnnmnQnmnnnznmnnnnnmLQQPPQQLLLLLQQPIIWWIIWIWIWIIIW3),(3),(1),(2),,2,000,,.000000nnnmnnmnnnnQnmnnnnmnnnnnnmnnnIIIWIIIABI(0-5)证明：选取LKF如式错误!未找到引用源。，则其导数如下：11112113224323215116()2()(),()()()()(),()()()(1())(())(()),()()()()(),()()()()(),()TTTTTTTtTThtmVtxtPxthhVttQttQtmmVtxtQxtdtxtdtQxtdtVtxtQxtxthQxthhVtxtZxtxsZxsdsmVt12()21222()()()()()()()().tdtthTTTthtdthhxtZxtxsZxsdsxsZxsds(0-6)由牛顿-莱布尼兹公式得：对于矩阵,1,2,3,iLi我们有：121111()222331()2()[()()()]0,2()[(())()()]0,2()[()(())()]0,tThtmtdtTththTtdthtLxtxtxsdsmtLxtdtxthxsdstLxthxtdtxsds(0-7)其中，12()()().(())()()txthtxtdtxthxt此外，以下等式成立：1211114111111()11522222221161323323()()()()()0,[()]()()()()0,[()]()()()()0.tTTTThtmtdtTTTTththTTTTtdthtLZLttLZLtdsmhdttLZLttLZLtdsdthtLZLttLZLtds(0-8)另外，我们引入矩阵变量4L满足以下等式：742()[()()(())]0,TtLxtAxtBxtdt(0-9)由式(0-6)~(0-9)得：126711111111222211323111111()1222()()()()()()[()]()()[()]()()[()()][()()][()()]jjjjTTTTTTTTtTTTThtmtdtTTTthVtVtthttLZLthdttLZLtmdthtLZLttLxsZZLtZxsdstLxsZZ112132232()[()()][()()][()()]TthTTTTtdtLtZxsdstLxsZZLtZxsds(0-10)由于0,1,2,jZj式(0-10)的最后3项都小于0，则我们只需要保证111111122221323[()][()]0,TTThLZLhdtLZLdthLZLm则我们需要保证1111112122211111121323[]0,[]0,TTTThLZLhhLZLmhLZLhhLZLm(0-11)由Schur补引理我们知式(0-11)和式(0-3)等价的。因此，如果式(0-3)存在，那么对于足够小的0和()0xt，都可存在2()()Vtxt，则系统渐近稳定。证毕。(更多的详细证明过程见附录3)1.1.3应用算例考虑如下时滞系统：2.00.01.00.0,.0.00.91.01.0AB我们比较在给定时滞下界13h和时滞导数的情况下，系统渐近稳定所允许的最大时滞上界2h。对于这个系统，当10.05,3h时，由文献[错误!未定义书签。]得到的大时滞上界23.98h，而定理3.1证明了系统在24.00(1)hm和24.45(4)hm的时候依旧渐近稳定，这也证明了定理3.1的优越性。更多的比较结果如下：表3-1最大允许时滞上界2hTable3-1Themaximumtimedelaybound2h方法0.050.10.5文献[错误!未定义书签。]3.983.613.22定理3.1，m=14.003.663.31定理3.1，m=44.454.123.48从表3-1也可以看出，定理3.1在无时滞分割的时候依旧显示出很大的优越性，这是因为我们引入了更多的松弛变量,1,2,3,4iLi所得。随着时滞分割的越来越细，保守性降低的也越来越明显。另外，在21,hh0.1的情况下，我们的结果与文献[错误!未定义书签。]作了比较，依旧有很大的优越性。如下表：表3-2最大允许时滞上界2hTable3-2Themaximumtimedelaybound2h方法0.80.90.99文献[错误!未定义书签。]1.591.893.57定理3.1，m=13.663.874.28定理3.1，m=44.274.535.65由以上比较数据可见我们的新的定理3.1有很大的优越性。