1数列主要知识点

1数列主要知识点及题型1.基本概念数列的通项、数列的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前n项和公式的关系：11,(1),(2)nnnSnaSSn(必要时请分类讨论).注意：112211()()()nnnnnaaaaaaaa；121121nnnnnaaaaaaaa.2.等差数列{}na中：（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性.（2）1(1)naand()manmd；pqmnpqmnaaaa.(3)1(1){}nkma、{}nka也成等差数列.(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.(5)1211,,mkkkmaaaaaa仍成等差数列.（6）1()2nnnaaS，1(1)2nnnSnad，21()22nddSnan，2121nnSan，()(21)nnnnAafnfnBb.(7),()0pqpqaqappqa，,()()pqpqSqSppqSpq；mnmnSSSmnd.(8)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和；(9)有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定.若总项数为偶数，则“偶数项和”－“奇数项和”＝总项数的一半与其公差的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”－“偶数项和”＝此数列的中项.（10）两数的等差中项惟一存在.在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选用“中项关系”转化求解.(11)判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法(也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式).3.等比数列{}na中：（1）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性.（2）11nnaaqnmmaq；pqmnpqmnbbbb.(3){||}na、1(1){}nkma、{}nka成等比数列；{}{}nnab、成等比数列{}nnab成等比数列.(4)两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列.(5)1211,,mkkkmaaaaaa成等比数列.（6）111111(1)(1)(1)(1)(1)1111nnnnnaqnaqSaaaaqaqqqqqqqq.特别：123221()()nnnnnnnababaabababb.(7)mnmnmnnmSSqSSqS.(8)“首大于1”的正值递减等比数列中，前n项积的最大值是所有大于或等于1的项的积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前n项积的最小值是所有小于或等于1的项的积；(9)有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是2奇数决定.若总项数为偶数，则“偶数项和”＝“奇数项和”与“公比”的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”＝“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和.（10）并非任何两数总有等比中项.仅当实数,ab同号时，实数,ab存在等比中项.对同号两实数,ab的等比中项不仅存在，而且有一对Gab.也就是说，两实数要么没有等比中项(非同号时)，如果有，必有一对(同号时).在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中项关系”转化求解.(11)判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法(也就是说数列是等比数列的充要条件主要有这四种形式).4.等差数列与等比数列的联系(1)如果数列{}na成等差数列，那么数列{}naA(naA总有意义)必成等比数列.(2)如果数列{}na成等比数列，那么数列{log||}(0,1)anaaa必成等差数列.(3)如果数列{}na既成等差数列又成等比数列，那么数列{}na是非零常数数列；但数列{}na是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.(4)如果两等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.如果一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般的方法”进行研讨，且以其等比数列的项为主，探求等比数列中那些项是他们的公共项，并构成新的数列.注意：(1)公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究nmab.但也有少数问题中研究nnab，这时既要求项相同，也要求项数相同.(2)三(四)个数成等差(比)的中项转化和通项转化法.5.数列求和的常用方法：（1）公式法：①等差数列求和公式（三种形式），②等比数列求和公式（三种形式），③1123(1)2nnn，22221123(1)(21)6nnnn，2135(21)nn，2135(21)(1)nn.（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是等比数列前n和公式的推导方法之一）.（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①111(1)1nnnn，②1111()()nnkknnk，③2211111()1211kkkk，211111111(1)(1)1kkkkkkkkk，④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn，⑤11(1)!!(1)!nnnn,⑥12(1)2(1)nnnnn,⑦1(2)nnnaSSn，⑧1111mmmmmmnnnnnnCCCCCC.3特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时分类讨论.（6）通项转换法。6.分期付款型应用问题(1)重视将这类应用题与等差数列或等比数列相联系.(2)若应用问题像“森林木材问题”那样，既增长又砍伐，则常选用“统一法”统一到“最后”解决.(3)“分期付款”、“森林木材”等问题的解决过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”作为相应的“指数”.