2-11.4生活中的优化问题举例

§1.4生活中的优化问题举例【学习目标】：1．进一步理解导数的概念，会利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题，并建立它们的导数模型；2．掌握用导数解决实际中简单的最优化问题，构建函数模型，求函数的最值.【学习过程】：一、课前准备复习1：函数y=2x3－3x2－12x+5在［0，3］上的最小值是___________复习2：函数()sinfxxx在[0,]2上的最大值为_____；最小值为_______.二、新课导学学习探究：优化问题问题：用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．新知：生活中经常遇到求、、等问题，这些问题通常称为优化问题.试试：在边长为60cm的正方形铁片的四角切去边长都为x的小正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？反思：利用导数解决优化问题的实质是.xxxx6060典型例题例1班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为2128dm，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？变式：如图用铁丝弯成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为a2m，为使所用材料最省，底宽应为多少？例2某工厂生产某种产品，已知该产品月产量x（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关系为：25124200xP，且生产x吨的成本为xR20050000元，问该产品每月生产多少吨才能使利润最大，最大利润是多少？（利润=收入-成本）小结：⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．⑵根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单奎屯王新敞新疆当堂检测1.一条长为100cm的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？2.周长为20的矩形，绕一条边边旋转成一个圆柱，求圆柱体积的最大值.3．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．学习小结1.求实际问题中的最大(小)值，步骤如下：(1)抽象出实际问题的数学模型，列出变量之间的函数关系式)(xfy；(2)求函数的导数)('xf，解方程0)('xf；(3)比较函数在区间端点值和极值大小，最大者为最大值，最小者为最小值．2．解决最优化的问题关键是建立函数模型，因此首先审清题意，明确常量与变量及其关系，再写出实际问题的函数关系式，对于实际问题来说，需要注明变量的取值范围.3．实际问题中在变量的范围内若只有一个极值点，那么它也是最值点.hb600EDCBA课后练习与提高1.某公司生产某种新产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益与年产量的关系是，则总利润最大时，每年生产的产品是（）A．100B．150C．200D．3002.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为（）A．33cmB．1033cmC．1633cmD.2033cm3.若一球的半径为r，则内接球的圆柱的侧面积最大为（）A．22rB．2rC．24rD．212r4.球的直径为d，当其内接正四棱柱体积最大时的高为.5.面积为S的矩形中，其周长最小的是.6．以长为10的线段AB为直径作半圆，求它的内接矩形面积的最大值。7.求曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离。8.一边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒.(1)试把方盒的容积V表示为x的函数.(2)x多大时，方盒的容积V最大？9.在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其下底为直径，其他三边为圆的弦，求梯形面积最大时，梯形的上底长为多少？10.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.