2-2大学高数历年期末试题

12010-2011年一.填空题(共4小题，每小题4分，共计16分)1．22(1,0)ln(),yzxexydz设则2．设xyyxyxfsin),(,则dxxxfdyy110),(=3．设函数21cos,0()1,0xxfxxxx以2为周期，()sx为的()fx的傅里叶级数的和函数，则(3)s.4．设曲线C为圆周222Ryx,则曲线积分dsxyxC）—（322=二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1.设直线L为32021030,xyzxyz平面为4220xyz,则（）.(A)L平行于平面(B)L在平面上(C)L垂直于平面(D)L与相交，但不垂直2．设有空间区域2222:xyzR，则222xyzdv等于（）.(A)432R(B)4R(C)434R(D)42R3．下列级数中，收敛的级数是（）.(A)1)1()1(nnnnn(B)11)1(nnnn(C)nnen13(D)1)11ln(nnnn4.设1nna是正项级数，则下列结论中错误的是（）（A）若1nna收敛，则12nna也收敛（B）若1nna收敛，则11nnnaa也收敛（C）若1nna收敛，则部分和nS有界（D）若1nna收敛，则1lim1nnnaa2三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）1．设函数f具有二阶连续偏导数，),(2yxyxfu，求yxu2.2．求函数yxxyz23在曲线12xy上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向x轴正向的切线方向的方向导数.解：3．计算,)(2dxdyyxD其中}4),({22yxyxD.34.设立体由锥面22zxy及半球面2211zxy围成.已知上任一点,,xyz处的密度与该点到xyo平面的距离成正比（比例系数为0K），试求立体的质量.6.计算第二类曲面积分dxdyzxxydxdzxyzdydz2，其中为球面1222zyx的外侧．7．求幂级数nnxn111的和函数。4四．证明题（本题4分）证明下列不等式成立：Dxydxdyee，其中}1|),{(D22yxyx.五．证明题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为xoy坐标面，其底部所占的区域为},75:),{(22xyyxyxD小山的高度函数为.75),(22xyyxyxh（1）设),(00yxM为区域D上一点，问),(yxh在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为),(00yxg，试写出),(00yxg的表达式。（2）现欲利用此小山举行攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点也就是说，要在D的边界线7522xyyx上找使（1）中的),(yxg达到最大值的点，试确定攀登起点的位置。52009-2010年一、填空题（每小题5分，满分30分）1.若向量cba,,两两互相垂直，且5,12,13abc和，则cba.2．设函数22sinyzxyx，求zzxyxy.3.设函数(,)fxy为连续函数,改变下列二次积分的积分顺序：22120(,)yydyfxydx.4.计算(1,2)(0,0)()(2)yyIexdxxeydy.5.幂级数nnnxn213的收敛域为：.6.设函数)()(2xxxxf的傅里叶级数为：10)sincos(2nnnnxbnxaa，则其系数3b.二、选择题（每小题5分，满分20分）1．直线11231zyx与平面34-2xyz的位置关系是()(A)直线在平面内；(B)垂直；(C)平行；(D)相交但不垂直2.设函数22(,)4()fxyxyxy,则(,)fxy（）(A)在原点有极小值；(B)在原点有极大值；(C)在(2,2)点有极大值；(D)无极值.3.设L是一条无重点、分段光滑，且把原点围在内部的平面闭曲线，L的方向为逆时针方向，则Lyxydxxdy22（）(A)0；(B)；(C)2；(D)2.4.设a为常数，则级数21sin1nnann（）(A)绝对收敛；(B)发散；(C)条件收敛；(D)敛散性与a值有关.6三、计算题(本大题满分42分)1.设.)0,0(),(,0),0,0(),(,),(422yxyxyxxyyxf讨论(,)fxy在原点)0,0(处是否连续，并求出两个偏导数)0,0(xf和)0,0(yf.(7分)2.计算,222dxdydzzyxI其中是由上半球面222yxz和锥面22yxz所围成的立体.(7分)本页满分14分本页得分本页满分14分73.求锥面22yxz被柱面222xyx所割下部分的曲面面积.（7分）4.计算曲面积分ydzdxxxdydzzzdxdyyI222，其中是由,22yxz0,0,0,122zyxyx围在第一卦限的立体的外侧表面.（7分）本页得分本页满分14分85.讨论级数312lnnnn的敛散性.（6分）6.把级数121211(1)(21)!2nnnnxn的和函数展成(1)x的幂级数.（8分）本页得分本页满分8分本页9四、（本题满分8分）设曲线L是逆时针方向圆周1)()(22ayax，()x是连续的正函数，证明：.2)()(Ldxxyyxdy五、设曲线L是逆时针方向圆周1)()(22ayax，()x是连续的正函数，证明：.2)()(Ldxxyyxdy（8分）得分本页满分8分本页得分102008-2009年一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1.设三向量cba,,满足关系式caba，则（）.（A）必有0a;（B）必有0cb;（C）当0a时，必有cb;（D）必有()(cba为常数).2.直线37423zyx与平面3224zyx的关系是（）.（A）平行，但直线不在平面上;（B）直线在平面上；（C）垂直相交;（D）相交但不垂直.3.二元函数)0,0(),(,0)0,0(),(,5),(22yxyxyxxyyxf在点（0，0）处（）(A)不连续，偏导数存在(B)连续，偏导数不存在(C)连续，偏导数存在(D)不连续，偏导数不存在4.已知2)()(yxydydxayx为某二元函数的全微分，则a（）.（A）1;（B）0;（C）1;（D）2.5.设)(uf是连续函数，平面区域)11(,10:2xxyD，则Ddxdyyxf)(22（）.（A）2102210)(xdyyxfdx;（B）2102210)(ydxyxfdy;（C）1020)(rdrrfd;（D）1020)(drrfd.6.设a为常数，则级数)cos1()1(1nann（）.（A）发散;（B）绝对收敛;（C）条件收敛;（D）收敛性与a的值有关.二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.1.设函数181261),,(222zyxzyxu，向量}1,1,1{n，点)3,2,1(0P，则0Pnu_____________.112.若函数yxyaxxyxf22),(22在点)1,1(处取得极值，则常数a____________.3.L为圆122yx的一周，则Ldsyx)(22_____________.4.设2lim1nnnaa，级数112nnnxa的收敛半径为_____________.5.设221)(xydyexf，则10)(dxxxf_____________.6.设)(xf是以2为周期的周期函数，它在区间]1,1(上的定义为10,01,2)(3xxxxf，则)(xf的以2为周期的傅里叶级数在1x处收敛于_____________.三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）.1.（本小题6分）设)(uf是可微函数，)(xyfz，求yzyxzx2.解题过程是：2.（本小题6分）计算二重积分Ddxdyyxxy2211，其中}0,1|),{(22xyxyxD.解题过程是：123.（本小题6分）设曲面),(yxzz是由方程13xzyx所确定，求该曲面在点)1,2,1(0M处的切平面方程及全微分)2,1(|dz.解题过程是：4.（本小题6分）计算三重积分dxdydzyx22，其中是由柱面21xy及0y，0z，4zyx所围成的空间区域.解题过程是：135.（本小题6分）求zdxdydydzzx)2(，其中为曲面)10(22zyxz，方向取下侧.解题过程是：6.（本小题7分）求幂级数121nnxnn的收敛域及和函数.解题过程是：147.（本小题7分）计算dSyxI)(22，为立体122zyx的边界。解题过程是：四．证明题（8分）.设函数)(uf在),(内具有一阶连续导数，L是上半平面)0(y内的有向分段光滑曲线，其起点为),(ba，终点为),(dc，记LdyxyfyyxdxxyfyyI]1)([)](1[1222，（1）证明曲线积分I与路径L无关;（2）当cdab时，求I的值.152007-2008年1.平面0:1zy与平面0:2yx的夹角为.2.函数22yxz在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(的方向的方向导数为.3.设(,)fxy是有界闭区域222:ayxD上的连续函数，则当0a时，Dadxdyyxfa),(1lim20.4.区域由圆锥面222xyz及平面1z围成，则将三重积分22()fxydV在柱面坐标系下化为三次积分为.5.设为由曲线32,,tztytx上相应于t从0到1的有向曲线弧，RQP,,是定义在上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：PdxQdyRdz______________________________________.6.将函数)0(1)(xxxf展开成余弦级数为__________________________________.二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.7.若),(yxfz有连续的二阶偏导数，且Kyxfxy),((常数)，则(,)yfxy（）(A)22K；(B)Ky；(C))(xKy；(D))(yKx.8.设)(xf是连续的奇函数，)(xg是连续的偶函数，区域xyxxyxD,10),(，则下列结论正确的是（）(A)0)()(Ddxdyxgyf；(B)0)()(Ddxdyygxf；(C)0)]()([Ddxdyygxf；(D)0)]()([Ddxdyxgyf.169.已知空间三角形三顶点)5,0,0(),1,1,1(),3,2,1(CBA，则ABC的面积为（）(A)29；(B)37；(C)92；(D)73.10.曲面积分dxdyz2在数值上等于()(A)流速场izv2穿过曲面Σ指定侧的流量；(B)密度为2z的曲面片Σ的质量；(C)向量场kzF2穿过曲面Σ指定侧的通量；(D)向量场kzF2沿Σ边界所做的功.11．处则此级