2-2第1课时等差数列的定义及通项公式

1第2章2.2第1课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．等差数列{an}中，a1＝13，a2＋a5＝4，an＝33，则n等于()A．48B．49C．50D．51解析：∵a2＋a5＝2a1＋5d＝4又∵a1＝13，∴d＝23∴an＝a1＋(n－1)d＝13＋(n－1)23＝33∴n＝50.故选C.答案：C2．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列()A．是公差为2的递增等差数列B．是公差为5的递增等差数列C．是首项为7的递减等差数列D．是公差为2的递减等差数列解析：∵an－an－1＝(2n＋5)－[2(n－1)＋5]＝2(n≥2)，∴{an}是公差为2的递增等差数列．答案：A3．已知等差数列{an}的前三项依次为a－1，172－a,3，则该数列中第一次出现负值的项为()A．第9项B．第10项C．第11项D．第12项解析：因为a－1，172－a,3是等差数列{an}的前三项，所以(a－1)＋3＝2172－a，∴a＝5，a1＝4，a2＝72，∴a1＝4，d＝－12.⇒an＝－12n＋92.令an0，则－12n＋920，2∴n9，故选B.答案：B4．等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差是()A.34B．－34C．－67D．－1解析：设数列{an}的公差为d，则在每相邻两项之间插入一个数后得到的等差数列公差为d2.又由d＝a5－a15－1＝2－85－1＝－32，得d2＝－34.答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.解析：由已知得a1＋2d＝7a1＋4d＝a1＋d＋6，解得a1＝3d＝2，所以a6＝a1＋5d＝13.答案：136．若x≠y，数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自成等差数列，则a1－a2b1－b2＝________.解析：由于a1－a2＝x－y3，b1－b2＝x－y4，则a1－a2b1－b2＝43.答案：43三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式．解析：方法一：根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d，则a1＋a1＋d＋a1＋2d＝21a1a1＋da1＋2d＝231，即3a1＋3d＝21a1a1＋da1＋2d＝231，解得a1＝3d＝4或a1＝11d＝－4.因为数列{an}为单调递增数列，因此a1＝3d＝4，从而等差数列{an}的通项公式为an＝4n3－1.方法二：由于数列{an}为等差数列，因此可设前三项分别为a－d，a，a＋d，于是可得a－d＋a＋a＋d＝21a－daa＋d＝231，即3a＝21aa2－d2＝231，解得a＝7d＝4或a＝7d＝－4.由于数列{an}为单调递增数列，因此a＝7d＝4，从而an＝4n－1.8．已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数．解析：方法一：设第一个数是a1，公差为d，由已知条件列方程组，得a1＋a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＋a1＋4d＝5，a12＋a1＋d2＋a1＋2d2＋a1＋3d2＋a1＋4d2＝859，所以5a1＋10d＝5，5a12＋20a1d＋30d2＝859，解得a1＝－13，d＝23，或a1＝73，d＝－23.所以这5个数分别是－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.方法二：设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，由已知条件列方程组，得a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，a－2d2＋a－d2＋a2＋a＋d2＋a＋2d2＝859，所以5a＝5，5a2＋10d2＝859，所以a＝1，d＝±23.当d＝23时，这5个数分别是－13，13，1，53，73；当d＝－23时，这5个数分别是73，53，1，13，－13.尖子生题库☆☆☆9．(10分)在数列{an}中，已知a1＝p0，且an＋1·an＝n2＋3n＋2对n∈N*恒成立，是否存在常数p使数列{an}为等差数列，如果存在，求出p的值；如果不存在，请说明理由．解析：假设存在常数p使数列{an}为等差数列．记数列{an}的公差为d，则an＝a1＋4(n－1)d，an＋1＝a1＋nd，依题得：[a1＋(n－1)d](a1＋nd)＝n2＋3n＋2对n∈N*恒成立．即d2n2＋(2a1d－d2)n＋(a12－a1d)＝n2＋3n＋2对n∈N*恒成立．所以d2＝12a1d－d2＝3，a12－a1d＝2即d＝1a1＝2或d＝－1a1＝－2∵a1＝p0，故p的值为2.所以存在常数p＝2使数列{an}为等差数列．