2-高中数学应用题教学的探索

0高中数学应用题教学的探索东莞市东华中学赵金国宝冬梅1高中数学应用题教学的探索【摘要】数学应用题就是用数学符号、数学式子及数量关系对现实生活原型进行抽象、提炼后所得的数学问题。而数学应用题教学的关键在于将现实生活原型“数学化、模型化”，即数学建模（MathematicalModeling），解数学应用题一般策略包括审题、建模、求解、验证和回答五个基本环节。本文旨在对中学数学应用题的理论根据，遵循原则，注意问题，建模方法等诸方面问题进行探索。【关键词】问题及依据；遵循的原则；注意问题；解题策略；案例分析；结果展示1.问题的提出现行《普通高中课程标准实验教科书》（数学）与以往教材明显的差别是：增加了“研究性学习”，并且应用题贯穿于教材的各个章节（《必修一》最为明显）。高中数学课程增设“数学探究”，“数学建模”等学习活动，把数学应用提到日程上来，体现了它的举足轻重的地位。在教学实践中发现，中学生数学建模能力比较差，大部分学生对数学应用题感到束手无策。追其原因：东莞市学生语言文字的领会能力差、数学抽象能力乏，社会生活背景知识了解的少和缺乏有效的学习方法。还有教师缺乏有效的教法也是不可忽视的一个因素。因此，加强中学数学建模教学和研究具有重要意义。新课标的基本理念要求：“发展学生的数学应用意识，倡导积极主动、勇于探索的学习方式”[1]，并提出：数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识的能力，并逐步形成学生的创新意识，通过应用题的教学让学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关，数学是有用的，我要学数学，我能用数学[1]的观点。这为数学应用题教学提供了理论依据。对于新教材进行四年的教学与研究，笔者有了初步的了解和认识，并在应用题教学中，尝试合作探究式教学。下面我从应用题教学应遵循的原则、应用题的命题及教学策略、解题策略和案例分析等方面谈一下粗浅的看法。2.数学应用题教学中应遵循的原则现代教学论认为教学活动是一个师生互动、互相交流的活动，在这一活动过程中，学生是活动的主体，是学习和探索知识是主人。教师是学生学习的指导者、组织者和学生出现错误时的矫正者。教师的作用不单是传授知识，更重要的是教会学生学会思维，培养学生的创造性思维能力。有了创造思维能力，学生不仅可以学会教师讲授的知识，还可以在自己的思维活动中，悟出教师没有讲授的知识，甚至创造出新的知识和方法。在数学应用题教学中，应注重发展学生的应用意识，引导学生应用数学知识来解决实际问题，并在探索和解决问题的过程中，体会数学应用价值，但在教学中要注意以下原则。2.1可接受性、方向性原则针对中学生的认知特点和身心发展的特征，在教学中，要注重学生的接受知识的能力，不可盲目地补充大量的实际问题让学生去做；要注重数学应用题要与《课标》、《考纲》相接轨、相匹配，不可随意性拔高，加深难度；要注重学生的知识基础和解决实际问题的能力，不可好高鹜远，要引导学生自觉地“在学中用，在用中学”。2.2循序渐进性、创新性原则智力和能力的发展，是一个循序渐进的过程。数学知识是具有严密的逻辑性和系统性，因此，在应用题教学中，选材一定要根据学生的实际，由易到难、由浅到深、由感性到理性2的进行[2]。教学的核心是学生的“创新”，在教学过程中，引导学生根据自己的体验，并用自己的思维方式重新创造出有关的新方法、新思路。3.数学应用题的命题及教学策略3.1应用题的命题要贴近生活，关注热点应用题的选编要与社会实践和社会生活密切相关，要有现实感和时代感。贴近生活的应用题会让学生感到亲切、自然、又身临其境，也会使学生真正感受到数学是有用的，增强学生学好数学的积极性[3]。例如：[95年全国高考试题]——某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克．根据市场调查，当148x时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：)0,8()8(1000txtxP)148()8(405002xxQ，当QP时市场价格称为市场平衡价格．(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元?95年全国高考试题是一个关于市场经济问题，命题组全体成员经过三个月的市场调查，走访民生，提炼出一道经济改革与百姓的生活紧密相连的应用题，具有鲜明的时代感。无独有偶，为了解决人口土地粮食问题，让学生关心民生，关心人类赖以生存的环境。96年全国高考试题又出现了下述问题:某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=耕地面积总产量，人均粮食占有量=总人口数总产量）关注社会热点的应用题不但可以引导学生关心社会发展，还有利于培养学生的责任意识，体现了数学的社会化功能，当然应用题的编拟还要切合学生的实际水平，否则将失去应用题的价值。如99年全国高考试题——轧钢问题。3.2应用题应尽量保持问题的原貌数学应用题也应当尽可能地提供原始材料，保持“原汁原味”，让学生体会到：数学就3在身边，生活就是数学，材料经过加工、整理、提炼就是数学问题，感受学习的乐趣。事实上，为了更好地培养学生严谨的数学思维，降低数学建模的难度，在现行新教材中，也有一些“人工编造”的应用题，条件不多不少，所求明确，结论唯一，甚至数学模型的解均符合应用题设的“实际”情况，但原味还要十足。例如：《必修一》教材中公交车应用题[4]：某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里）2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与行车里程的函数解析式，并画出函数图象.3.3应用题命题的教学策略数学应用题的教学可分为两步教学：一是建立数学模型（建模）的教学，二是求解数学模型（求模）的教学。建模教学是应用题教学的核心，建模就是把实际问题转化为数学问题的过程，它是一个把学生的直觉感知进行提炼、抽象的过程，也是高考考查应用题的主要目的，而求模过程往往只是一个纯数学问题的解答过程，因此应用题的教学和考查应重在建模能力的教学和考查上。4.数学应用题的解题策略——合作探究在日常生活的中，每一个学生对事物、对问题都有自己的看法和解决问题的办法。有些问题即使学生还没有接触过，但当问题一旦显现在他们面前时，他们往往也可以运用自己的聪明才智和已有认知能力，对问题进行部分或全面的回答。因此，教师不能无视学生这些想法另起炉灶，把自己的想法和经验强加于学生，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中生长出新的知识。教师不是简单的知识呈现者和知识的传递，而是知识的转换和处理的加工者。教师要重视学生对各种现象的理解，倾听他们的想法，洞察他们这些想法的由来，并且以此为根据来引导学生，丰富和完善自己的理解；要与学生共同针对某些问题进行探索，并在此过程中进行相互交流和质疑，了解彼此的想法，彼此作出某些调整。笔者通过对数学应用题的教学，概括出了数学应用题教学的一般策略如以下框图所示。4.1审题探究重点是合作读题：即在学生读题的过程中，教师要引导学生找出条件是什么？问题是什么？把题中的重点词、句用线段画出，明确条件与问题有什么关系？并尽可能寻找出条件（已知）与问题（未知）的内在关系，将题目给定的信息经过分析、综合后，让学生尝试自己复述，学生在不经意中把现实问题“数学化”。通过“审题”学生大致地可以知道:用已学过的哪些数学知识可以解决问题，解题有了一个基本明确的方向。这一过程也是培养学生“数学”地思考问题的最关键环节，也是“大众数学”的直接体现[5]。通过学生自己的阅读、理解，实际问题数学模型实际问题的解数学模型的解抽象概括“数学化”还原说明“生活化”“结果化”演算推理4实现“数学语言”的提练。在探究的过程中，由于认知能力的差异，学生的感悟会有所不同，会存在着一些疑点、难点，可以通过讨论让学生自己探究到问题的缘由。提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，并给出解释或证明。要鼓励学生提问题，因为提出一个问题往往比解决一个问题更重要。4.2合作建模将已“数学化”了的实际问题，通过教师启发诱导，使学生运用已学过的数学知识，将文字叙述的实际问题转化成用数学符号表示的式子(比如得到函数式子、数列关系式、不等式关系式等等)，同时必须要求学生联系实际，确定自变量的取值范围，为后面的回答问题奠定基础，这一过程成为“合作建模”[5]。建模后，实际问题被转化学生比较熟悉的纯数学问题。到这个阶段，学生开始对“问题解决”有了初步的方法和策略，以下的教学就可以由学生自己完成，让学生发挥其主体作用，增加学生解数学应用题的自信心。建模过程是数学应用题教学的核心和难点，突破这一点，教学往往可收到事半功倍的效果。如[2000年全国高考试题]——某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示。（I）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系)(tfP；写出图2表求援种植成本与时间的函数关系式)(tgQ；（II）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元kg210/，时间单位：天）引导学生由图象求出函数解析式并明确收益与售价和成本的关系：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为：300200,3002,2000300)(tttttf，由图二可得种植成本与时间的函数关系为：)3000(100)150(2001)(2tttg(Ⅱ)设t时刻的纯收益为)(th，则由题意得：)()()(tgtfth,即图1图253002002102527200120002175212001)(22ttttttth，，实际上“西红柿问题”建模就是建立分段函数与二次函数模型，而且其中的自变量t因函数分段要特别注意它的范围。对学生存在的问题要加以点拨，澄清模型的糊涂认识。4.3自主求解自主求解就是要学生对已经整理的数学模型进行化简、运算的纯数学过程，要求学生独立解答的过程，也就是纯数学问题“结果化”的过程。在这纯数学过程中，要注重提高学生运用运算技巧、运算能力和解决问题的能力，渗透数形结合、等价转化、化归等数学思想方法的在生活中的应用，培养学生顽强的求知精神。如[2000年全国高考题]：当)2000(t时，配方整理得：100)50(2001)(2tth所以，当50t时，)(th取得区间]200,0[上的最大值100.当300200t时，配方整理得：100)350(2001)(2tth所以，当300t时，)(th取得区间]300,200[上的最大值5.87.“西红柿问题”的求解：就要求学生能综合运用待定系数法、配方法或利用导数求最值及分类讨论的数学思想方法。要充分体现课堂中以学生为主体的教学理念，将课堂还给学生，让学生真正成为学习的主人。4.4验证回答理论与实际往往存在差异，纯数学运算下的结果并不一定符合现实生活和客观实际，如现实生活中天数、数列中的相数往往要取整，产品的利润、风险的评估往往要取最值等等，这是纯数学与应用数学最不一致的地方，也是数学“生活化”的直接体现。高中数学应用题结论的回答一般还要附带一些说明，因而数学应用题的回答要学生根据题意用简练、明确的语言概括出来，给出一个清楚的结论，如2000年全国高考试题——“西红柿问题”的回答，就要在两个值中取更大的一个，并且说明取得最大值时的自变量t的值是多少。综上所述，在区间]300,0[上可以取得最大值100，此时50t，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．5.案例分析6教师不但