2.1.3函数的单调性教案

1/32.1.3函数的单调性【学习要求】1.理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念．2.掌握增(减)函数的证明和判别，学会运用函数图象理解和研究函数的性质，能利用函数图象划分函数的单调区间．【学法指导】考察函数的单调性，可以从函数的图象、函数值的变化情况，增(减)函数的定义等多方面进行，但函数单调性的证明必须根据增(减)函数的定义加以证明.填一填：知识要点、记下疑难点1.增函数与减函数的概念：一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间M⊆A.如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x10，则当Δy＝f(x2)－f(x1)0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，当Δy＝f(x2)－f(x1)0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数.2.如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性.(区间M称为单调区间).研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]函数是描述事物运动变化规律的数学模型．如果了解了函数的变化规律，那么也就把握了相应事物的变化规律．因此研究函数的性质是非常重要的．日常生活中，我们有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从阶梯教室后向前走，逐步下降．很多函数也具有类似性质，这就是我们要研究的函数的重要性质——函数的单调性．探究点一函数单调性的有关概念问题1观察下列函数的图象，回答当自变量x的值增大时，函数值f(x)是如何变化的？答：当自变量在实数集内由小变大时，函数y＝2x的值也随着逐渐增大，函数y＝－2x的值反而减小；而函数y＝x2＋1，在区间(－∞，0]上，函数值逐渐减小，在区间[0，＋∞)上又逐渐增大．问题2如何用x与f(x)来描述当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次增大？答：在给定区间上任取x1，x2，x1x2，f(x1)f(x2)．问题3在函数y＝f(x)的图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，记Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)＝y2－y1，如何用Δx与Δy来描述：“当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次增大”？“当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次减小”？答：分别表示为：当Δx0时，Δy0；当Δx0时，Δy0.问题4对于函数f(x)，当Δx0时，有Δy0，我们说f(x)是增函数；当Δx0时，有Δy0.我们说f(x)是减函数．如果给出函数y＝f(x)，x∈A，你能给增函数和减函数下个定义吗？答：一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间M⊆A.如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x10，则当Δy＝f(x2)－f(x1)0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，如下图(1)；当Δy＝f(x2)－f(x1)0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数，如下图(2)．如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性．(区间M称为单调区间)2/3例1如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解：y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]．其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数．小结：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．跟踪训练1根据下图说出函数在每一个单调区间上，是增函数还是减函数．解：函数在[－1,0]上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数．探究点二增函数、减函数的证明或判断问题1判断函数单调性的方法有哪些？答：定义法，图象法．问题2证明函数单调性的方法有哪些？答：只有定义法．问题3根据增函数或减函数的定义，你认为证明函数f(x)在区间D上单调性的一般步骤有哪些？答：(1)取值：任取x1，x2∈D，且x1x2；(2)作差：f(x1)－f(x2)；(3)变形：通常通过因式分解、配方与通分等途径将结果化为积或商的形式；(4)定号：判断差f(x1)－f(x2)的正负；(5)小结：指出函数f(x)在给定区间D上的单调性．例2证明函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．证明：设x1，x2是任意两个不相等的实数，且x1x2，则Δx＝x2－x10，Δy＝f(x2)－f(x1)＝2x2＋1－(2x1＋1)＝2(x2－x1)＝2Δx0.所以函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．小结：运用定义判断或证明函数的单调性时，要注意x1、x2的三大特征：①属于同一区间；②任意性；③有大小：通常规定x1x2.要牢记证明函数单调性的五大步骤：取值→作差→变形→定号→小结．跟踪训练2证明函数f(x)＝1x在区间(0，＋∞)上是减函数．证明：设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1x2，则Δx＝x1－x20，Δy＝f(x1)－f(x2)＝1x1－1x2＝x2－x1x1x2.由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x20，且x2－x1＝－Δx0，于是Δy0.所以，f(x)＝1x在(0，＋∞)上是减函数．探究点三函数单调性的应用问题1如何利用函数的单调性比较两个函数值的大小？答：先判断函数f(x)在区间D上的单调性，如果函数f(x)在D上是增函数，则当x1x2时，f(x1)f(x2)，如果f(x)在D上是减函数，结论则相反．问题2已知函数的单调性，能利用函数值的大小关系得出对应自变量的大小关系吗？答：能．利用函数单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，即脱去f符号，转化为自变量的大小关系．3/3例3已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意的正数d，都有f(x＋d)f(x)，求满足f(1－a)f(2a－1)的a的取值范围．解：令x1＝x＋d，x2＝x，∵d0，∴x1x2，由f(x＋d)f(x)知，f(x1)f(x2)．∴y＝f(x)在定义域R上是减函数．∵f(1－a)f(2a－1)，∴1－a2a－1，即a23.∴a的取值范围为－∞，23.小结：如果由函数y＝f(x)在区间M上的任意两个数x1x2推出f(x1)f(x2)，则函数y＝f(x)是增函数；反之，如果已知函数y＝f(x)在区间M上是增函数，若f(x1)f(x2)成立，则x1x2也成立．已知函数的单调性求参数的取值范围，要注意数形结合，采用逆向思维．跟踪训练3已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，判断f(a2－a＋1)与f34的大小关系．解：由于a2－a＋1＝a－122＋34≥34，又因函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，所以f(a2－a＋1)≤f34.练一练：课堂检测、目标达成落实处1.若函数f(x)＝4x2－mx＋5－m在[－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2]上是减函数，则实数m的值为________．解析：由题意，函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝m8＝－2，2.函数f(x)是定义域上的单调递减函数，且过点(－3,2)和(1，－2)，则|f(x)|2的自变量x的取值范围是_______．解析：由题意可知：当x∈(－3,1)时，－2f(x)2，即|f(x)|2.3.物理学中的玻意耳定律p＝kV(k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大．试用函数的单调性证明之．证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，＋∞)上的任意两个实数，且V1V2，则p(V1)－p(V2)＝kV1－kV2＝kV2－V1V1V2.由V1，V2∈(0，＋∞)，得V1V20.由V1V2，得V2－V10.又k0,于是p(V1)－p(V2)0，即p(V1)p(V2)．所以，函数p＝kV在(0，＋∞)上是减函数，也就是说，当体积V减小时，压强p将增大．课堂小结：1.若f(x)的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减．2.对增函数的判断，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，也可以用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0或1－2x1－x20.对减函数的判断，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0或1－2x1－x20.3.若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增，②－f(x)单调递减，③1单调递减(f(x)≠0)．4.对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商12与1比较.