2.2直接证明与间接证明(教学设计)(1)

12.2直接证明与间接证明（教学设计）（1）2.2.1综合法和分析法（1）--综合法教学目标：知识与技能目标：（1）理解综合法证明的概念；（2）能熟练地运用综合法证明数学问题。过程与方法目标:（1）通过实例引导学生分析综合法的思考过程与特点；（2）引导学生归纳出综合法证明的操作流程图。情感、态度与价值观：（1）通过综合法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性。（2）通过综合法的学习，养成审核思维的习惯。教学重点：了解综合法的思考过程、特点教学难点：对综合法的思考过程、特点的概括教学过程:一、复习回顾，新课引入：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。二、师生互动，新课讲解：1.综合法在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。例1（课本P36例）：已知a,b0,求证2222()()4abcbcaabc给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义证明:因为222,0bcbca，所以22()2abcabc。因为222,0caacb，所以22()2bcaabc。因此2222()()4abcbcaabc。一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则综合法可表示为：11223().....nPQQQQQQQ综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。例2（课本P37例3）：在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,,abc,且A,B,C成等差数列,,,abc成等比数列,求证△ABC为等边三角形.分析：将A,B,C成等差数列，转化为符号语言就是2B=A+C;A,B,C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A+B+C=；a,b，c成等比数列，转化为符号语言就是2bac．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C．①因为A,B,C为△ABC的内角，所以A+B+C=．②由①②，得B=3．③由a,b，c成等比数列，有2bac．④由余弦定理及③，可得222222cosbacacBacac．再由④，得22acacac．即2()0ac，因此ac．从而A=C．2由②③⑤，得A=B=C=3．所以△ABC为等边三角形．注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．例3：已知,,Rba求证.abbababa分析：本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于ba,对称，不妨设.0ba0)(0bababbabbabababababa，从而原不等式得证。2）商值比较法：设,0ba,0,1baba.1)(baabbabababa故原不等式得证。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。例4、若实数1x，求证：.)1()1(32242xxxx证明：采用差值比较法：2242)1()1(3xxxx=3242422221333xxxxxxx=)1(234xxx=)1()1(222xxx=].43)21[()1(222xx,043)21(,0)1(,122xxx且从而∴,0]43)21[()1(222xx成立∴.)1()1(32242xxxx例5．设函数()fx对任意R，xy，都有()()()fxyfxfy，且0x时，()0fx．（1）证明()fx为奇函数；（2）证明()fx在R上为减函数．证明：（1）xyR，∵，()()()fxyfxfy，∴令0xy，(0)(0)(0)fff，(0)0f∴，令yx，代入()()()fxyfxfy，得(0)()()ffxfx，而(0)0f，()()()fxfxxR∴，()fx∴是奇函数；（2）任取12xxR，，且12xx，则210xxx，21()()0fxfxx∴．又2121()()()fxxfxfx，3()fx∵为奇函数，11()()fxfx∴，21()()()0fxfxfx∴，即21()()0fxfx，()fx∴在R上是减函数．三、课堂小结，巩固反思：综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。四、布置作业：A组：1、若0,0ba，且a＋b＝4，则下列不等式中恒成立的个数是____（个）（写出所有正确的情况）①211ab②111ba③2ab④81122ba【答案】：1个【解析】①项abba24，所以4ab，411ab；②项，1411ababbaba；③项abba2，所以2ab；④项，因为abba222，所以16)()(2222baba，得81122ba，故只有④正确。2、（课本P44习题2.2A组：NO：1）已知BA,都是锐角，且,2)tan1)(tan1(,2BABA，求证：4BA.解：因为2)tan1)(tan1(BA展开得2tantantantan1BABA即.tantan1tantanBABA（1）因为2BA，所以BA2.因为BA,都是锐角,所以BA2,都是锐角从而).2tan(tanBA所以1tantanBA,即0tantan1BA。（1）式变形得1tantan1tantanBABA即1)tan(BA因为BA,都是锐角，所以40BA，从而4BA3、（课本P44习题2.2A组：NO：2）4、在ABC△中，已知()()3abcabcab，且2cossinsinABC．判断ABC△的形状．解：180ABC∵°，sinsin()CAB∴．又2cossinsinABC，2cossinsincoscossinABABAB∴，sin()0AB∴．又A与B均为ABC△的内角，AB∴．又由()()3abcabcab，得22()3abcab，222abcab，又由余弦定理2222coscababC，得2222cosabcabC，2cosabCab∴，1cos2C，60C∴°．又AB∵，∴ABC△为等边三角形．