2.2直接证明与间接证明学习目标:1.结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:综合法和分析法,了解间接证明的一种基本方法:反证法;2.了解综合法、分析法和反证法的思考过程、特点.重点:根据问题的特点,结合综合法、分析法和反证法的思考过程、特点,选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用.难点:根据问题的特点,选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用.学习策略分析法和综合法在证明方法中都占有重要地位,是解决数学问题的重要思想方法。当所证命题的结论与所给条件间联系不明确,常常采用分析法证明;当所证的命题与相应定义、定理、公理有直接联系时,常常采用综合法证明.在解决问题时,常常把分析法和综合法结合起来使用。反证法解题的实质是否定结论导出矛盾,从而说明原结论正确。在否定结论时,其反面要找对、找全.它适合证明“存在性问题、唯一性问题”,带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.知识点一:直接证明1、综合法(1)定义:一般地,从命题的已知条件出发,利用公理、已知的定义及定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.(2)综合法的的基本思路:执因索果综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是从已知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发,通过推导得出结论.(3)综合法的思维框图:用表示已知条件,为定义、定理、公理等,Q表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:(已知)(逐步推导结论成立的必要条件)(结论)2、分析法(1)定义:一般地,从需要证明的命题出发,分析使这个命题成立的充分条件,逐步寻找使命题成立的充分条件,直至所寻求的充分条件显然成立(已知条件、定理、定义、公理等),或由已知证明成立,从而确定所证的命题成立的一种证明方法,叫做分析法.(2)分析法的基本思路:执果索因分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证明的结论出发,分析使之成立的条件,即寻求使每一步成立的充分条件,直到最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.(3)分析法的思维框图:用表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等,所要证明的结论,则用分析法证明可用框图表示为:(结论)(逐步寻找使结论成立的充分条件)(已知)(4)分析法的格式:要证……,只需证……,只需证……,因为……成立,所以原不等式得证。知识点二:间接证明反证法(1)定义:一般地,首先假设要证明的命题结论不正确,即结论的反面成立,然后利用公理,已知的定义、定理,命题的条件逐步分析,得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论,以此说明假设的结论不成立,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.(2)反证法的特点:反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立,即结论的反面成立,在已知条件和“假设”这个新条件下,通过逻辑推理,得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论,从而判定结论的反面不能成立,即证明了命题的结论一定是正确的.(3)反证法的基本思路:“假设——矛盾——肯定”①分清命题的条件和结论.②做出与命题结论相矛盾的假设.③由假设出发,结合已知条件,应用演绎推理方法,推出矛盾的结果.④断定产生矛盾结果的原因,在于开始所做的假定不真,于是原结论成立,从而间接地证明原命题为真.(4)用反证法证明命题“若则”,它的全部过程和逻辑根据可以表示为:(5)反证法的优点:对原结论否定的假定的提出,相当于增加了一个已知条件.规律方法指导1.用反证法证明数学命题的一般步骤:①反设——假设命题的结论不成立,即假定原命题的反面为真;②归谬——从反设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果;③存真——由矛盾结果,断定反设不真,从而肯定原结论成立.2.适合使用反证法的数学问题:①要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰;比如“存在性问题、唯一性问题”等;②如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论,而从反面进行证明,只要研究一种或很少的几种情形.比如带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.经典例题透析类型一:综合法1.如图,设在四面体中,,,是的中点.求证:垂直于所在的平面.思路点拨:要证垂直于所在的平面,只需在所在的平面内找到两条相交直线与垂直.解析:连、因为是斜边上的中线,所以又因为,而是、、的公共边,所以于是,而,因此∴,由此可知垂直于所在的平面.总结升华:这是一例典型的综合法证明.现将用综合法证题的过程展现给大家,供参考:(1)由已知是斜边上的中线,推出,记为(已知);(2)由和已知条件,推出三个三角形全等,记为;(3)由三个三角形全等,推出,记为;(4)由推出,记为(结论).这个证明步骤用符号表示就是(已知)(结论).举一反三:【变式1】求证:.【答案】待证不等式的左端是3个数和的形式,右端是一常数的形式,而左端3个分母的真数相同,由此可联想到公式,转化成能直接利用对数的运算性质进行化简的形式.∵,∴左边∵,∴.【变式2】在锐角三角形ABC中,求证:【答案】∵在锐角三角形ABC中,,∴,∵在内正弦函数单调递增,∴,即同理,,∴类型二:分析法2.求证:思路点拨:由于本题所给的条件较少,且不等式中项都是根式的形式,因而用综合法证明比较困难.这时,可从结论出发,逐步反推,寻找使命题成立的充分条件;此外,若注意到,,也可用综合法证明.法一:分析法要证成立,只需证明,两边平方得,所以只需证明,两边平方得,即,∵恒成立,∴原不等式得证.法二:综合法∵,,,∴.∴.∴.即原不等式成立.总结升华:1.在证明过程中,若使用综合法出现困难时,应及时调整思路,分析一下要证明结论成立需要怎样的充分条件是明智之举.从结论出发,结合已知条件,逐步反推,寻找使当前命题成立的充分条件的方法.2.综合法写出的证明过程条理清晰,易于理解;但综合法的证题思路并不容易想到,因此,在一般的证题过程中,往往是先用分析法寻找解题思路,再用综合法书写证明过程.举一反三:【变式1】求证:【答案】∵、、均为正数∴要证成立,只需证明,两边展开得即,所以只需证明即,∵恒成立,∴成立.【变式2】求证:【答案】法一:要证成立,只需证明,即只需证明即,∵恒成立,∴成立.法二:∵∴,∴【变式3】若求证:.【答案】由,得,即(*)另一方面,要证,即证,即证,化简,得.∵上式与(*)式相同.所以,命题成立.类型三:反证法3.设二次函数中的、、均为奇数,求证:方程无整数根.思路点拨:由于要证明的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰,所以可考虑用反证法.对于本题可通过奇偶数分析得出结论.证明:假设方程有整数根,则成立,所以.因为为奇数,所以也为奇数,且与都必须为奇数.因为已知、为奇数,又为奇数,所以为偶数,这与为奇数矛盾,所以假设不成立,原命题成立.总结升华:反证法适宜证明“存在性”、“唯一性”,带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.举一反三:【变式1】若都为实数,且,,,求证:中至少有一个大于0.【答案】假设都不大于0,则,,,所以又.因为,,,,所以,所以,这与矛盾,所以假设不成立,原命题成立.【变式2】设函数在内都有,且恒成立,求证:对任意都有.【答案】假设“对任意都有”不成立,则,有成立,∵,∴又∵这与矛盾,所以假设不成立,原命题成立.【变式3】已知:,求证【答案】假设,则成立,所以.因为,所以,所以,这与矛盾,所以假设不成立,原命题成立.学习成果测评基础达标:1.要证明可选择的方法有以下几种,其中最合理的是()A.综合法B.分析法C.反证法D.归纳法2.设,,则的大小关系是()A.B.C.D.3.已知函数,,则是大小关系为()A.B.C.D.4.至少有一个负实根的充要条件是()A.B.C.D.或5.如果都是正数,且,求证:.6.已知都是正数,,且,求证:.7.用反证法证明:如果,那么.能力提升:8.已知a3+b3=2,求证:a+b≤2.9.已知a,b是正实数,求证:.综合探究:10.求证:正弦函数没有比小的正周期.参考答案:基础达标:1.B2.C解析:假设,即.,∴,∴,显然不成立,∴.3.A解析:∴∴.又函数是减函数,∴.4.C解析:(1)当时,,符合题意;(2)当时,要使方程有一正一负根,只需,即;要使方程有两个负根,只需解得.综上可知,.5.证明:因为==,又因为且,所以,即。6.证明:要证原式成立,则只需要证明,即只需要证明(*)即证明.因为,所以(*)式可变形为即,因为都是正数,所以要证原式成立,只需证明因为对于一切,显然成立.所以原不等式得证.7.证明:假设,则.容易看出,下面证明.因为,所以,即,从而,变形得综上得,这与已知条件矛盾。因此,假设不成立,即原命题成立.能力提升:8.证明:假设a+b>2,则b>2-a,∴b3>(2-a)3∴a3+b3>a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+2≥2,与已知矛盾,∴a+b≤29.证法一:分析法要证,只要证即证,即证.显然成立,所以证法二:综合法(当且仅当a=b时取等号),所以综合探究:10.证明:假设T是正弦函数的周期则对任意实数x都有令x=0,得即假设最小正周期,故。从而对任意实数x都应有这与矛盾。因此,原命题成立.