2.3.2双曲线的简单几何性质教学设计

双曲线的简单几何性质一、学习目标知识目标:了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。能力目标:通过观察、类比、转化、概括等探究，提高学生运用方程研究双曲线的性质的能力.情感目标:使学生在合作探究活动中体验成功,激发学习热情，感受事物之间处处存在联系.二、学习重点、难点1.教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质；2.教学难点：双曲线的渐近线.三、学习过程：（一）复习式导入：在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。那么，你认为应该研究双曲线22221(0,0)xyabab的哪些性质呢？范围、对称性、顶点、离心率等.这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质（二）新课：我们先来研究一下焦点坐标在x轴上的双曲线的简单几何性质。1双曲线22221(0,0)xyabab的简单几何性质（1）范围从图形看，x的取值范围是什么？师生：从标准方程能否得出这个结论呢？y的范围呢？Ry（2）对称性从图形看，双曲线关于什么对称性？生：关于x轴、y轴和原点都是对称的那么，类比椭圆几何性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？提示：用y代替原方程中的y，若方程不变，则该曲线……关于x轴对称。同理，若用x代替原方程中的x，若方程不变，则该曲线关于y轴对称。若用yx,分别代替原方程中的yx,，若方程不变，则该曲线关于原点对称。所以，双曲线是关于x轴、y轴和原点都是对称的。x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。（3）顶点椭圆的顶点有几个？（4个）它是如何定义的？（椭圆与对称轴的交点）类比椭圆顶点的定义，我们把双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。由图形可以看到，双曲axax或012222axby2222,1axax即axax或线22221(0,0)xyabab的顶点有几个？顶点坐标是？(,0)a虽然对比椭圆，双曲线只有两个顶点，但我们仍然把(0,)b标在图形上。为了后面定义渐近线表述的方便，定义如图矩形为双曲线的特征矩形。椭圆中有长轴和短轴的概念，并且长轴比短轴长。双曲线中也有类似的定义。如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做半实轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的半虚轴长.我们知道，双曲线定义中a和b的大小关系是不确定的。但是它们之间存在一种特殊的关系：a=b。此时实轴2a和虚轴2b也是相等的。实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.等轴双曲线的方程为（4）渐近线图2：标准位置下的双曲线的渐近线应该是什么呢？通过操作确认，发现渐近线是双曲线特征矩形的对角线，其方程是xaby定义：特征矩形的两条对角线叫做双曲线的渐近线。双曲线22221(0,0)xyabab的渐近线方程是xaby即0xyab注：通过变形，对比双曲线方程与渐近线方程，可以发现：将双曲线方程22221(0,0)xyabab中的1改为0后得到新的方程22220(0,0)xyabab，它的解就是两条渐近线方程。（此处提供了一种求双曲线的渐近线方程的方法，避免记忆公式）等轴双曲线22(0)xymm的渐近线方程是yx焦点在y轴上的双曲线的渐近线xbay即0yxab渐近线的作用：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图。（简述作图过程）（5）离心率类比椭圆，我们把双曲线的焦距与实轴长的比acace22，叫做双曲线的离心率。椭圆离心率的范围是什么？（10e）。它对椭圆的形状有何影响？（影响椭圆的扁平程度，e越大椭圆越扁）。)0(22mmyx那么，双曲线的离心率的范围是什么呢？10eca由等式222bac，可得：1122222eacaacab，不难发现：e越小（越接近于1），ab就越接近于0，双曲线开口越小；e越大，ab就越大，双曲线开口越大。所以，双曲线的离心率反映的是双曲线的开口大小。通过对这些性质的探究，就可以更好的理解双曲线图形与这些基本量之间的关系，更加准确的作出双曲线的图形。e对双曲线的形状有何影响呢？得出结论：e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大。（三）例题解析例1．求双曲线22916144yx的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.解：把方程22916144yx化为标准方程221169yx.由此可知，半实轴长4a，半虚轴长3b.225cab所以，焦点坐标是(0,5)离心率54cea，渐近线方程是043yx注：此问题由学生口答。练习：求双曲线222916xy的渐近线方程变式：已知双曲线的渐近线方程为043yx，且双曲线过点(3,23)A，求此双曲线的标准方程解：设所求双曲线的标准方程可设为22(0)916xy，由题意得22(3)(23)916解得14所以，所求双曲线的标准方程为221944xy例2.如图，设,Mxy与定点5,0F的距离和它到直线l：165x的距离的比是常数54，求点M的轨迹方程．分析：若设点,Mxy，则225MFxy，到直线l：165x的距离165dx，则容易得点M的轨迹方程．例3.过双曲线16322yx的右焦点2F倾斜角为30的直线交双曲线于A,B两点求｜AB｜解：直线AB：)3(33xy由163)3(3322yxxy消去y，得027652xx解得59,321xx代入直线AB，得),32,3(A)532,59(B所以，5316)()(221221yyxxAB（四）课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？1双曲线的简单几何性质2双曲线与渐近线（1）双曲线2222(0)xymn的渐近线方程是22220xymn即0xymn（2）渐近线是0xymn的双曲线方程可设为2222(0)xymn（五）作业布置课本613,41PAB双曲线的简单几何性质单位：登封一中学科：数学主讲人：张凤娟登封市2014—2015学年课堂教学达标评优活动参评教学设计《双曲线的简单几何性质》教学反思本节内容是人教A版选修2-1第二章第三节双曲线的第二课时，本节课是在学习了“椭圆的几何性质和双曲线的定义、方程”后进行的，课程标准要求了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质.与已学的椭圆和后续的抛物线比较，本节课的要求相对较低。但是本节课渗透的思想方法是相当重要的。一方面，本节课是利用双曲线的方程研究其几何性质。这是解析几何研究的两个主要问题之一，通过本节课的学习有利于进一步深化坐标法和数形结合的思想；另一方面，通过类比椭圆学习双曲线的几何性质，有利于培养学生科学的思维方法。平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。课程标准明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。（1）知识目标：①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质；②掌握双曲线标准方程中cba,,的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念；③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。（2）能力目标：①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法；②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的理解。（3）情感目标：通过本课时对双曲线几何性质的研究、探讨，让不同层次的学生都能切实体验成功的喜悦，感受数学的美和魅力，激发创造的激情，培养审美的情趣。根据本节的教学内容和课程标准以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把对双曲线的几何性质的理解和简单应用作为本节课的重点。渐近线是双曲线的特有性质，也是教学的难点，但课程标准要求相对较低，不要求严格证明，为了突破难点，通过问题引导学生从已有认知水平出发，来发现双曲线的渐近线，然后充分利用多媒体展示，帮助学生进一步直观理解渐近线“渐近”的含义。这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学通过类比，让学生自己进行探究，得到类似的结论。在教学中，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，从已有知识出发，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性。例题的选备，可将此题作一题多变（变条件，变结论），开拓其解题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题能力。