2.3等差数列的前n项和(一)学案(人教A版必修5)

2.3等差数列的前n项和(一)自主学习知识梳理1．把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记做________．例如a1＋a2＋…＋a16可以记做________；a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝________(n≥2)．2．若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn＝____________；若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn＝____________.3．写出下列常见等差数列的前n项和(1)1＋2＋3＋…＋n＝____________.(2)1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝____________.(3)2＋4＋6＋…＋2n＝____________.4．等差数列前n项和的性质(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列Snn也是等差数列，且公差为____________．(2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成________数列．(3)设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，则anbn＝S2n－1T2n－1.自主探究教材是怎样推导等差数列{an}前n项和的？试一试写出推导过程．对点讲练知识点一有关等差数列前n项和的计算例1在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.总结在解决等差数列问题时，如已知a1，an，n，d，Sn中任意三个，可求其余两个，这种问题在数学上常称为“知三求二”型．变式训练1设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列Snn的前n项和，求Tn.知识点二等差数列前n项和性质的应用例2(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知SnTn＝7n＋2n＋3，求a5b5的值．总结等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易，事半功倍的效果．变式训练2已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且AnBn＝7n＋45n＋3，则使得anbn为整数的正整数n的个数是()A．2B．3C．4D．5知识点三等差数列前n项和的实际应用例3甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？总结建立等差数列的模型时，注意相遇时甲、乙两人的路程和是两个等差数列的前n项和．变式训练3现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为()A．9B．10C．19D．291．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式Sn＝na1＋an2较好，若已知首项a1及公差d，用公式Sn＝na1＋nn－12d较好．3．等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆，并在解题中熟练灵活地应用.课时作业一、选择题1．等差数列{an}中，S10＝4S5，则a1d等于()A.12B．2C.14D．42．已知等差数列{an}中，a23＋a28＋2a3a8＝9，且an0，则S10为()A．－9B．－11C．－13D．－153．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36.则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．274．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为()A．765B．665C．763D．6635．一个四边形的四个内角成等差数列，最小角为40°，则最大角为()A．140°B．120°C．100°D．80°题号12345答案二、填空题6．设{an}是公差为－2的等差数列，如果a1＋a4＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋…＋a99＝________.7．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为______．8．已知两个等差数列{an}、{bn}，它们的前n项和分别是Sn、S′n，若SnS′n＝2n＋33n－1，则a9b9＝______.三、解答题9．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝Snn＋c，求非零常数c.10．已知等差数列{an}的前三项为a－1,4,2a，记前n项和为Sn.(1)设Sk＝2550，求a和k的值；(2)设bn＝Snn，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值．§2.3等差数列的前n项和(一)知识梳理1．SnS16Sn－12.na1＋an2na1＋12n(n－1)d3．(1)12n(n＋1)(2)n2(3)n2＋n4．(1)d2(2)等差自主探究解等差数列{an}的前n项和Sn可以采用倒序相加法推导，具体过程如下：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an又Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1在等差数列中有：a1＋an＝a2＋an－1＝…＝an＋a1.∴2Sn＝(a1＋an)×n∴Sn＝na1＋an2.①由于an＝a1＋(n－1)d代入①，得Sn＝na1＋nn－12d.②对点讲练例1解由an＝a1＋n－1d，Sn＝na1＋nn－12d，得a1＋2n－1＝11，na1＋nn－12×2＝35，解方程组得n＝5a1＝3或n＝7，a1＝－1.变式训练1解设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋12n(n－1)d，∵S7＝7，S15＝75，∴7a1＋21d＝715a1＋105d＝75，即a1＋3d＝1a1＋7d＝5，解得a1＝－2d＝1，∴Snn＝a1＋12(n－1)d＝－2＋12(n－1)＝n－52，∴Sn＋1n＋1－Snn＝12，∴数列Snn是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴Tn＝n(－2)＋nn－12×12＝14n2－94n.例2解(1)方法一在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．∴30,70，S3m－100成等差数列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.方法二在等差数列中，Smm，S2m2m，S3m3m成等差数列，∴2S2m2m＝Smm＋S3m3m.即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.(2)a5b5＝9a1＋a99b1＋b9＝S9T9＝6512.变式训练2D[anbn＝A2n－1B2n－1＝14n＋382n＋2＝7n＋19n＋1＝7n＋1＋12n＋1＝7＋12n＋1，∴n＝1,2,3,5,11.]例3解(1)设n分钟后第1次相遇，依题意，有2n＋nn－12＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0.解之得n＝7，n＝－20(舍去)．第1次相遇是在开始运动后7分钟．(2)设n分钟后第2次相遇，依题意，有2n＋nn－12＋5n＝3×70，整理得n2＋13n－420＝0.解之得n＝15，n＝－28(舍去)．第2次相遇是在开始运动后15分钟．变式训练3B[钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．]课时作业1．A[由题意得：10a1＋12×10×9d＝4(5a1＋12×5×4d)，∴10a1＋45d＝20a1＋40d，∴10a1＝5d，∴a1d＝12.]2．D[由a23＋a28＋2a3a8＝9得(a3＋a8)2＝9，∵an0，∴a3＋a8＝－3，∴S10＝10a1＋a102＝10a3＋a82＝10×－32＝－15.]3．B[数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，∵S3＝9，S6－S3＝27，则S9－S6＝45.∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.]4．B[因a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7100，∴n15，∴n＝14，S14＝14×2＋12×14×13×7＝665.]5．A[方法一设等差数列为{an}，最大角为a4，则a1＝40°，n＝4，S4＝360°.由360°＝4×40°＋a42，得a4＝140°.方法二设其公差为d，由4×40°＋4×32d＝360°，得d＝(1003)°.于是，最大的角为40°＋3d＝140°.]6．－82解析∵a3＋a6＋…＋a99，a1＋a4＋…＋a97分别是33项之和，∴(a3＋a6＋…＋a99)－(a1＋a4＋…＋a97)＝(a3－a1)＋(a6－a4)＋…＋(a99－a97)＝2d＋2d＋…＋2d＝33×2d＝33×(－4)＝－132，∴a3＋a6＋…＋a99＝－132＋50＝－82.7．10解析由题意知，S奇＝n＋1a1＋a2n＋12＝165，S偶＝na2＋a2n2＝150.∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴n＋1n＝165150＝1110，∴n＝10.8.3750解析方法一SnS′n＝n2a1＋ann2b1＋bn＝a1＋anb1＋bn＝2n＋33n－1，∴a9b9＝2a92b9＝a1＋a17b1＋b17＝2×17＋33×17－1＝3750.方法二由SnS′n＝2n＋33n－1，可知公差d≠0，设Sm＝km(2m＋3)，S′m＝km(3m－1)(k∈R，且k≠0)，则ambm＝Sm－Sm－1S′m－S′m－1＝4m＋16m－4(m≥2)，∴a9b9＝4×9＋16×9－4＝3750.9．解(1)设等差数列{an}的公差为d，且d0.∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3a4＝117，∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根．又公差d0，∴a3a4，∴a3＝9，a4＝13.∴a1＋2d＝9a1＋3d＝13，∴a1＝1d＝4，∴an＝4n－3.(2)由(1)知，Sn＝n×1＋nn－12×4＝2n2－n，∴bn＝Snn＋c＝2n2－nn＋c.∴b1＝11＋c，b2＝62＋c，b3＝153＋c.∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，∴2c2＋c＝0，∴c＝－12(c＝0舍去)．10．解(1)由已知得a1＝a－1，a2＝4，a3＝2a，又a1＋a3＝2a2，∴(a－1)＋2a＝8，即a＝3.∴a1＝2，公差d＝a2－a1＝2.由Sk＝ka1＋kk－12d，得2k＋kk－12×2＝2550，即k2＋k－2550＝0，解得k＝50或k＝－51(舍去)．∴a＝3，k＝50.(2)由Sn＝na1＋nn－12d，得Sn＝2n＋nn－12×2＝n2＋n.∴bn＝Snn＝n＋1.∴{bn}是等差数列．则b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝(3＋1)＋(7＋1)＋(11＋1)＋…＋(4n－1＋1)＝2n2＋2n，∴b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝2n2＋2n.