2.4函数的零点的教学设计

2.4函数的零点【学情分析】本节课从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，借助对图象的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，并将这种关系推广到了一般情形．初学者大多不清楚为什么要研究函数的零点，因为在此之前他们都能用公式法直接求方程的根．所以，教学时可首先考虑解决这一问题．通过举例让学生知道，有许多方程都不能用公式法求解，为了研究更多方程的根，就有必要学习函数的零点．如果带着这样的疑问学习，必然会激发其求知欲，从而提高学习的效率．零点知识是陈述性知识，关键不在于学生提出这个概念。而是理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。【学习内容分析】本节课是在学生学习了《一次函数和二次函数》的基础上，学习函数与方程的第一课时，通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念及存在个数问题，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节《用二分法求函数零点的近似值》做准备．本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、探究函数零点存在性。函数零点是研究当函数的值为零时，相应的自变量的取值，反映在函数图象上，也就是函数图象与轴的交点横坐标。由于函数的值为零亦即，其本身已是方程的形式，因而函数的零点必然与方程有着不可分割的联系，事实上，若方程有解，则函数存在零点，且方程的根就是相应函数的零点，也是函数图象与轴的交点横坐标．顺理成章的，方程的求解问题，可以转化为求函数零点的问题。这是函数与方程关系认识的第一步。零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件。如果函数在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线，并且满足f(a)·f(b)0，则函数在区间(a,b)内至少有一个零点，但零点的个数，需结合函数的单调性等性质进行判断．方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认识规律，从特殊的、具体的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方程的联系，然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形；零点存在性的研究，也同样采用了类似的方法，同时还体现了“数形结合思想”及“转化与化归思想”。【课程目标】一.知识与技能目标通过对二次函数图象的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想,领会函数零点与相应方程实数根之间的关系，二.过程与方法目标体现从特殊到一般的认识规律,通过合作探究理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系，通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辨证关系．掌握函数零点存在性的判断．培养学生观察、思考、分析、猜想，验证的能力,体现数型结合的思想。三.情感、态度和价值观目标在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．体验数学内在美,激发学习热情,培养学生创新意识和科学精神.【教学重点和难点】一.教学重点1.了解函数零点的概念2．准确掌握函数零点与相应方程的根的关系3．了解函数零点的个数及存在性原理二．教学难点1．了解函数与方程的根关系的应用。2．探究函数零点的个数及存在性原理【教学方法】以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发式教学，运用小组学习合作探究。【教学过程】一、课前延伸1、知识链接，温故知新求方程x2－2x－3＝0的实数根，并画出函数y＝x2－2x－3的图象通过学生熟悉一元二次方程入手，让学生建立数型结合的思想。观察函数图像与x轴的交点与相应方程根的关系。2、情景导引，体验概念探究一元二次方程)0(02acbxax的根与相应二次函数)0(2acbxaxy图象与x轴交点的关系？)0(2acbxaxyΔ0Δ=0Δ0二次函数的图像图像与x轴交点个数)0(02acbxax方程根的个数说明：通过完成以上两个题目,让学生从具体到一般函数图像与x轴交点与相应方程根的关系。这一环节是为学生课内探究学习作好铺垫，使用方法是课前发下去，学生自己解答，上课后教师根据学生的反馈情况给予讲解。3、自主学习，了解概念自学课本第70页，通过二次函数62xxy的图像与x轴的交点与相应方程根的关系了解函数的零点的概念。4、收集问题，把握学情通过预习，引导学生通过自学，找出那些问题已经掌握，那些问题还有疑惑，有待教师解答。教师通过收集学生的预习学案，批阅之后发现学生存在的问题，以便准确的把握学情，作为课堂教学的重要依据。二、课内探究1、创设情境，导入新课实际问题情境：在体育测试时，高一的一名男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6，5)(1)求这个二次函数的解析式；(2)该男同学把铅球推出去多远？说明：学生经过思考，得到结论：要求二次函数与x轴的交点坐标，只要令y=0,解出相应方程的根即可。2、合作探究，形成概念问题1：课本第70页，通过画二次函数62xxy的图像,了解当y=0,y0,y0相应x的取值，初步了解函数零点的概念。问题2：通过预习案中二次函数图像表格中，让学生说出对应二次函数零点。进一步了解零点概念。小组合作探究,由学生回答做法，教师作一下点拨,结合二次函数的图像,推广到一般函数零点的定义：一般的，如果函数y=f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)=0,则α叫做这个函数的零点。在坐标系中表示图像与x轴的公共点(α,0)点。3、点拨指导，理解概念通过对以上函数的零点的求解，可以得到结论：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标．函数零点的个数即相应方程实数根的个数，也就是函数图像与x轴的交点个数。它们之间存在以下关系：有了上述的等价关系，我们就可用函数的观点看待方程，方程0xf的根即函数xfy的零点，可以把解方程的问题互化为思考函数图象与x轴的交点问题。这正是函数与方程思想的基础。问题3：观察右面一段函数图象思考下列问题：①零点是一个点的坐标吗？②任意函数都有零点吗？③如何求函数的零点？④通过观察二次函数的图像，函数零点附近函数值是否发生了变化？⑤函数零点有那些性质?说明：通过对以上问题的思考与探究，让学生了解函数零点的概念及性质，但要注意图像在经过零点时，有时穿过x轴，有时不穿过。教师要及时给于总结。点明二重零点的定义。教材仅作了解，不深处研究，但它们都是相应方程的根。4、典例剖析，应用概念问题4：求下列函数的零点,并画出下列函数的简图。①12xy②442xxy③xxxy2323④2223xxxy说明：求函数零点，体现函数与方程互相转化的思想。求②的零点时，学生在解方程时发现有两个相等的根，那对于函数的零点是一个是两的零点是函数xfyx0x0是方程f(x)=0的实根）轴有交点（的图象与函数0,0xxxfy个那？学生出现疑惑。这是教师要声音洪亮，中速提出：“方程的根与函数零点个数是相同的。大家看前面二次函数的图像表格中间一列。”对于三次方程的求法，要注意能否因式分解。可以利用计算器或计算机准确地作出其图象，理解函数零点的概念。也可以通过画简图，了解图像的变化形式。要注意体现零点性质的应用。为以后学习高次不等式穿根法奠定基础。5、变式拓展，深化概念问题5：一元二次方程01201120092xx有没有实根?学生小组合作探讨，3分钟后举手抢答。说明:通过小组合作探究，体现集体的智慧。对回答积极的小组及时表扬鼓励。对本节课重要知识点---函数零点概念与相应方程根的关系进行更深层的理解。体现“数型结合”,“函数与方程”思想.问题6：如图，请观察，这是某地在12月份几天内的一张气温变化模拟函数图（即一个连续函数图象），由于图象中有一段被墨水污染了，现在有人想了解一下在4日到8日之间可能有几个时刻温度会达到0摄氏度，你能帮助他吗？（1）在4日——8日（区间[4，8]）之间温度会不会达到0摄氏度呢？为什么？（2）图中，区间(4，8)内肯定会有零点，那么会有几个零点呢？在什么条件下有且只有一个呢？思考:若一个函数图像在区间[a，b]上是连续的，在什么情况下，图像在区间(a，b)内肯定与x轴有交点呢？让学生自己任意画几个函数图象验证自己的猜想.小组讨论后，派代表发言得到的结论，教师整理后得到函数零点的存在性定理：如果函数xfy在区间ba,上的图像是不间断的一条曲线，并且有在它的两端点处的函数值异号，即0bfaf，那么函数xfy在区间ba,内有零点，即存在bac,使得0cf这个c也就是方程0xf的根。教师给出这个定理，课后学生还需多画图，讨论定理逆命题的真假，加深对定理的理解及应用。6、自主整理，归纳总结说明:这个环节,学生主动总结本节课学到的知识,将本节课所讲的知识点系统整理，为后面的函数零点的应用奠定基础.7、当堂检测，诊断反馈（1）已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表，则函数在哪几个区间内有零点？x-2-1012f(x)-11-11-1(2)判断下列命题的真假：①只要函数与x轴相交，则相应方程一定有实数根。（）②只要方程有实数根，则相对应的函数一定与x轴相交。且根的个数与交点个数相同。（）*③若函数f（x）在区间[a，b]上是连续的，且满足f(a)f(b)0,则函数f(x)在[a,b]上恰有一个零点。（）*④若连续函数f(x)在[a,b]上有一个零点,则一定有f(a)f(b)0。（）(带*表示选做)(3).在二次函数cbxaxy2中，ac0,则其零点的个数为（）A.1B.2C.3D.不存在(5).若f（x）=（x-1）2+1，则y=f（x）-1的零点个数（）A.0B.1C.0或1D.不确定(6).求函数)1)(1)(2(xxxy的零点。并作出它的简图。说明:本环节用时10分钟,考完后小组互换,立即批改.发现问题立即纠正,再通过课后作业加以巩固.教师鼓励表扬:根据各小组的课堂表现颁奖-----满分卷奖、主动提问奖、问题探讨全面奖。三、课后提升作业反馈，训练巩固作业：课本72页练习A、1.(3)(6)。练习B1.(2)、(3)自主选择，深化提高课本75页习题2-4A4、5导学练B组【教后拓展】1、已知函数f(x)是定义域为Ｒ的奇函数，且f(x)在（0，+∞）上有一个零点，则f(x)的零点个数为()A.1B.2C.3D.不确定2、二次函数y=x2-2与一次函数y=x+1的图像有无交点，若有，那是什么？3、三次方程x3+2x-6=0有无实根？【课后反思】这节课上的比较成功，满分率高达95%。这一堂课通过学生熟悉的一元二次函数入手，体现函数零点与相应方程根的关系，并进行了推广。通过学生的自主探讨，解决了函数零点的存在性问题，激发学生的学习兴趣，提高了课堂效率。同时又培养了学生的自学能力、协作互助能力，以及分析问题、解决问题的能力。