高一必修四教学合案备课人:年月日第1页共7页2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法学习目标运用向量的有关知识(向量加减法与向量数量积的运算法则等)解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.重、难点重点:理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何问题.难点:选择适当的方法,将几何问题转化为向量问题加以解决.自主学习1.向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行(共线)的等价条件:a∥b(b≠0)⇔__________⇔________________.(2)证明垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形等,常用向量垂直的等价条件:a⊥b⇔____________⇔________________.(3)求夹角问题,往往利用向量的夹角公式cosθ=________________=________________________.(4)求线段的长度或证明线段相等,可以利用向量的线性运算、向量模的公式:|a|=____________.2.直线的方向向量和法向量(1)直线y=kx+b的方向向量为________,法向量为__________.(2)直线Ax+By+C=0的方向向量为__________,法向量为__________.在平行四边形中有下列的结论:平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的2倍.请用向量法给出证明.对点讲练利用向量证明平行问题例1如图所示,若ABCD为平行四边形,EF∥AB,AE与BF相交于点N,DE与CF相交于点M.求证:MN∥AD.高一必修四教学合案备课人:年月日第2页共7页回顾归纳(1)本题利用平行向量基本定理证明两直线平行,解题时要注意灵活运用已知条件.(2)向量法证明直线平行,恰是向量平行问题的一种存在形式—它们的基线无公共点.与前面例1比较,最大的区别在于,此处共线的两个向量没有公共端点.变式训练1△ABC中,M、N分别为AB、AC的中点.求证:MN∥BC.利用向量证明垂直问题例2如图所示,在平行四边形ABCD中,BC=2BA,∠ABC=60°,作AE⊥BD交BC于E,求BEEC的值.回顾归纳利用向量解决平面几何问题时,有两种思路:一种思路是选择一组基底,利用基向量表示涉及的向量,一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及到的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明.变式训练2已知P是正方形ABCD对角线BD上一点,PFCE为矩形.求证:PA=EF且PA⊥EF.直线方向向量的应用例3在△ABC中,A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求∠A的平分线的方程.高一必修四教学合案备课人:年月日第3页共7页回顾归纳直线Ax+By+C=0的方向向量为v=(B,-A),法向量n=(A,B).这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系.求两条直线的夹角时非常有用.变式训练3在直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C在∠AOB的平分线上且|OC→|=2,则OC→=________.1.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时,有两种思路:一种思路是选择一组基底,利用基向量表示涉及的向量,一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及到的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明.2.在直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)上任取两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则P1P2→就是直线l的一个方向向量,λP1P2→(λ∈R且λ≠0)也是直线l的方向向量.所以,一条直线的方向向量有无数多个,它们都共线.同理,与直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的向量都叫直线l的法向量.一条直线的法向量也有无数多个.熟知以下结论,在解题时可以直接应用.①y=kx+b的方向向量v=(1,k),法向量为n=(k,-1).②Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的方向向量v=(B,-A),法向量n=(A,B).课时作业一、选择题1.在△ABC中,已知A(4,1)、B(7,5)、C(-4,7),则BC边的中线AD的长是()A.25B.525C.35D.7252.点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足OA→·OB→=OB→·OC→=OC→·OA→,则点O是△ABC的()A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点3.如图,非零向量OA→=a,OB→=b且BC⊥OA,C为垂足,若OC→=λa,则λ等于()A.a·b|a|2B.a·b|a||b|C.a·b|b|2D.|a||b|a·b4.若O是△ABC所在平面内一点,且满足|OB→-OC→|=|OB→+OC→-2OA→|,则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形5.已知点A(3,1),B(0,0),C(3,0),设∠BAC的平分线AE与BC相交于E,那么有BC→=λCE→,其中λ等于()A.2B.12C.-3D.-13题号12345答案高一必修四教学合案备课人:年月日第4页共7页二、填空题6.过点(1,2)且与直线3x-y+1=0垂直的直线的方程是____________.7.已知平面上三点A、B、C满足|AB→|=3,|BC→|=4,|CA→|=5.则AB→·BC→+BC→·CA→+CA→·AB→=______.8.设平面上有四个互异的点A、B、C、D,已知(DB→+DC→-2DA→)·(AB→-AC→)=0,则△ABC的形状一定是______.三、解答题9.如图所示,已知四边形ABCD是菱形,AC和BD是它的两条对角线.求证:AC⊥BD.10.三角形ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,延长BE交AC于F,连结DF.求证:∠ADB=∠FDC.高一必修四教学合案备课人:年月日第5页共7页§2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法知识梳理1.(1)a=λbx1y2-x2y1=0,(2)a·b=0x1x2+y1y2=0,(3)a·b|a||b|x1x2+y1y2x21+y21x22+y22(4)x2+y22.(1)(1,k)(k,-1)(2)(B,-A)(A,B)自主探究证明在平行四边形ABCD中,AC→=AB→+AD→,BD→=AD→-AB→,∴AC→2=(AB→+AD→)2=AB→2+AD→2+2AB→·AD→;BD→2=(AD→-AB→)2=AD→2+AB→2-2AB→·AD→.∴AC→2+BD→2=2AB→2+2AD→2.即|AC→|2+|BD→|2=2(|AB→|2+|AD→|2).∴平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的2倍.对点讲练例1证明∵EF∥AB,∴△NEF∽△NAB,设AB→=μEF→(μ≠1),则ANEN=μ,AE→=(μ-1)EN→,同理,由EF→∥CD→,可得DE→=(μ-1)EM→,∴AD→=ED→-EA→=AE→-DE→=(μ-1)MN→,∵μ≠1,令λ=μ-1,∴AD→=λMN→,∴AD∥MN.变式训练1证明设AB→=a,AC→=b,则BC→=AC→-AB→=b-a,又M、N分别为AB、AC的中点.∴AM→=12a,AN→=12b.△AMN中,MN→=12b-12a=12(b-a),∴MN→=12BC→,即MN→与BC→共线,∴MN∥BC.例2解方法一(基向量法)设BA→=a,BC→=b,|a|=1,|b|=2.a·b=|a||b|cos60°=1,BD→=a+b.设BE→=λBC→=λb,则AE→=BE→-BA→=λb-a.由AE⊥BD,得AE→·BD→=0.即(λb-a)·(a+b)=0.解得λ=25,∴BEEC=2535=23.方法二以B为坐标原点,直线BC为x轴建立平面直角坐标系,根据条件,设B(0,0),C(2,0),A12,32,D52,32.又设E(m,0),则BD→=52,32,AE→=m-12,-32.由AE⊥BD,得AE→·BD→=0.即52m-12-32×32=0,得m=45,∴BEEC=4565=23.变式训练2证明高一必修四教学合案备课人:年月日第6页共7页以D为坐标原点,DC所在直线为x轴,DA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系Oxy(如图所示),设正方形边长为1,|OP→|=λ,则A(0,1),P2λ2,2λ2,E1,22λ,F22λ,0,于是PA→=-22λ,1-22λ,EF→=22λ-1,-22λ.∵|PA→|=-22λ2+1-22λ2=λ2-2λ+1,同理|EF→|=λ2-2λ+1,∴|PA→|=|EF→|,∴PA=EF.PA→·EF→=-22λ2λ2-1+1-22λ-22λ=0,∴PA→⊥EF→.∴PA⊥EF.例3解AB→=(3,4),AC→=(-8,6),∠A的平分线的一个方向向量为:AB→|AB→|+AC→|AC→|=35,45+-45,35=-15,75.∵∠A的平分线过点A.∴所求直线方程为-75(x-4)-15(y-1)=0.整理得:7x+y-29=0.变式训练3-105,3105解析已知A(0,1),B(-3,4),设E(0,5),D(-3,9),∴四边形OBDE为菱形.∴∠AOB的角平分线是菱形OBDE的对角线OD.设C(x1,y1),|OD→|=310,∴OC→=2310OD→.∴(x1,y1)=2310(-3,9)=-105,3105,即OC→=-105,3105.课时作业1.B[BC中点为D32,6,AD→=-52,5,∴|AD→|=525.]2.D[∵OA→·OB→=OB→·OC→.∴(OA→-OC→)·OB→=0.∴OB→·CA→=0.∴OB⊥AC.同理OA⊥BC,OC⊥AB,∴O为垂心.]3.A[BC→=OC→-OB→=λa-b.∵BC⊥OA,∴BC→·OA→=(λa-b)·a=0,即λa2-a·b=0.∴λ=a·b|a|2.]4.B[∵|OB→-OC→|=|CB→|=|AB→-AC→|,|OB→+OC→-2OA→|=|AB→+AC→|,∴|AB→-AC→|=|AB→+AC→|,∴A,B,C是同一矩形的三个顶点,且∠BAC=90°.∴△ABC是直角三角形.]5.C[如图所示,由题知∠ABC=30°,∠AEC=60°,CE=33,∴|BC||CE|=3,∴BC→=-3CE→.]6.x+3y-7=0解析设P(x,y)是所求直线上任一点,直线3x-y+1=0的方向向量为(-1,-3),高一必修四教学合案备课人:年月日第7页共7页由(x-1,y-2)·(-1,-3)=0得x+3y-7=0.7.-25解析△ABC中,B=90°,cosA=35,cosC=45,∴AB→·BC→=0,BC→·CA→=4×5×-45=-16;CA→·AB→=5×3×-35=-9.∴AB→·BC→+BC→·CA→+CA→·AB→=-25.8.等腰三角形解析∵(DB→+DC→-2DA→)·(AB→-AC→)=[(DB→-DA→)+(DC→-DA→)]·(AB→-AC→)=(AB→+AC→)·(AB→-AC→)=AB→2-AC→2=|AB→|2-|AC→|2=0,∴|AB→|=|AC→|,∴△ABC是等腰三角形.9.证明∵四边形ABCD是菱形,∴|AB→|=|AD→|,又∵AC→=AB→+AD→,BD→=AD→-AB→,∴AC→·BD→=(AB→+AD→)·(AD→-AB→)=|AD→|2-|AB→|2=0.∴AC→⊥BD→,即AC⊥BD.10.证明如图所示,建立直角坐标系,设A(2,0),C(0,2),则D(0,1),于是AD→=(-2,1),AC→=(-2,2),设F(x,y),由BF→⊥AD→,得BF→·AD→=0,即(x,y)·(-2,1)=0,∴-2x+y=0①