2.5.1平面几何中的向量方法学案(人教A版必修4)

高一必修四教学合案备课人：年月日第1页共7页2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法学习目标运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.重、难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何问题.难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题加以解决.自主学习1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔__________⇔________________.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔____________⇔________________.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝________________＝________________________.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝____________.2．直线的方向向量和法向量(1)直线y＝kx＋b的方向向量为________，法向量为__________．(2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为__________，法向量为__________．在平行四边形中有下列的结论：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的2倍．请用向量法给出证明．对点讲练利用向量证明平行问题例1如图所示，若ABCD为平行四边形，EF∥AB，AE与BF相交于点N，DE与CF相交于点M.求证：MN∥AD.高一必修四教学合案备课人：年月日第2页共7页回顾归纳(1)本题利用平行向量基本定理证明两直线平行，解题时要注意灵活运用已知条件．(2)向量法证明直线平行，恰是向量平行问题的一种存在形式—它们的基线无公共点．与前面例1比较，最大的区别在于，此处共线的两个向量没有公共端点．变式训练1△ABC中，M、N分别为AB、AC的中点．求证：MN∥BC.利用向量证明垂直问题例2如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于E，求BEEC的值．回顾归纳利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．变式训练2已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，PFCE为矩形．求证：PA＝EF且PA⊥EF.直线方向向量的应用例3在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线的方程．高一必修四教学合案备课人：年月日第3页共7页回顾归纳直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为v＝(B，－A)，法向量n＝(A，B)．这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系．求两条直线的夹角时非常有用．变式训练3在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且|OC→|＝2，则OC→＝________.1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．在直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)上任取两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1P2→就是直线l的一个方向向量，λP1P2→(λ∈R且λ≠0)也是直线l的方向向量．所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线．同理，与直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的向量都叫直线l的法向量．一条直线的法向量也有无数多个．熟知以下结论，在解题时可以直接应用．①y＝kx＋b的方向向量v＝(1，k)，法向量为n＝(k，－1)．②Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量v＝(B，－A)，法向量n＝(A，B).课时作业一、选择题1．在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是()A．25B.525C．35D.7252．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→，则点O是△ABC的()A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点3．如图，非零向量OA→＝a，OB→＝b且BC⊥OA，C为垂足，若OC→＝λa，则λ等于()A.a·b|a|2B.a·b|a||b|C.a·b|b|2D.|a||b|a·b4.若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形5．已知点A(3，1)，B(0,0)，C(3，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有BC→＝λCE→，其中λ等于()A．2B.12C．－3D．－13题号12345答案高一必修四教学合案备课人：年月日第4页共7页二、填空题6．过点(1,2)且与直线3x－y＋1＝0垂直的直线的方程是____________.7．已知平面上三点A、B、C满足|AB→|＝3，|BC→|＝4，|CA→|＝5.则AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→＝______.8．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(DB→＋DC→－2DA→)·(AB→－AC→)＝0，则△ABC的形状一定是______．三、解答题9.如图所示，已知四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线．求证：AC⊥BD.10．三角形ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，延长BE交AC于F，连结DF.求证：∠ADB＝∠FDC.高一必修四教学合案备课人：年月日第5页共7页§2.5平面向量应用举例2．5.1平面几何中的向量方法知识梳理1．(1)a＝λbx1y2－x2y1＝0，(2)a·b＝0x1x2＋y1y2＝0，(3)a·b|a||b|x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22(4)x2＋y22．(1)(1，k)(k，－1)(2)(B，－A)(A，B)自主探究证明在平行四边形ABCD中，AC→＝AB→＋AD→，BD→＝AD→－AB→，∴AC→2＝(AB→＋AD→)2＝AB→2＋AD→2＋2AB→·AD→；BD→2＝(AD→－AB→)2＝AD→2＋AB→2－2AB→·AD→.∴AC→2＋BD→2＝2AB→2＋2AD→2.即|AC→|2＋|BD→|2＝2(|AB→|2＋|AD→|2)．∴平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的2倍．对点讲练例1证明∵EF∥AB，∴△NEF∽△NAB，设AB→＝μEF→(μ≠1)，则ANEN＝μ，AE→＝(μ－1)EN→，同理，由EF→∥CD→，可得DE→＝(μ－1)EM→，∴AD→＝ED→－EA→＝AE→－DE→＝(μ－1)MN→，∵μ≠1，令λ＝μ－1，∴AD→＝λMN→，∴AD∥MN.变式训练1证明设AB→＝a，AC→＝b，则BC→＝AC→－AB→＝b－a，又M、N分别为AB、AC的中点．∴AM→＝12a，AN→＝12b.△AMN中，MN→＝12b－12a＝12(b－a)，∴MN→＝12BC→，即MN→与BC→共线，∴MN∥BC.例2解方法一(基向量法)设BA→＝a，BC→＝b，|a|＝1，|b|＝2.a·b＝|a||b|cos60°＝1，BD→＝a＋b.设BE→＝λBC→＝λb，则AE→＝BE→－BA→＝λb－a.由AE⊥BD，得AE→·BD→＝0.即(λb－a)·(a＋b)＝0.解得λ＝25，∴BEEC＝2535＝23.方法二以B为坐标原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，根据条件，设B(0,0)，C(2,0)，A12，32，D52，32.又设E(m,0)，则BD→＝52，32，AE→＝m－12，－32.由AE⊥BD，得AE→·BD→＝0.即52m－12－32×32＝0，得m＝45，∴BEEC＝4565＝23.变式训练2证明高一必修四教学合案备课人：年月日第6页共7页以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy(如图所示)，设正方形边长为1，|OP→|＝λ，则A(0,1)，P2λ2，2λ2，E1，22λ，F22λ，0，于是PA→＝－22λ，1－22λ，EF→＝22λ－1，－22λ.∵|PA→|＝－22λ2＋1－22λ2＝λ2－2λ＋1，同理|EF→|＝λ2－2λ＋1，∴|PA→|＝|EF→|，∴PA＝EF.PA→·EF→＝－22λ2λ2－1＋1－22λ－22λ＝0，∴PA→⊥EF→.∴PA⊥EF.例3解AB→＝(3,4)，AC→＝(－8,6)，∠A的平分线的一个方向向量为：AB→|AB→|＋AC→|AC→|＝35，45＋－45，35＝－15，75.∵∠A的平分线过点A.∴所求直线方程为－75(x－4)－15(y－1)＝0.整理得：7x＋y－29＝0.变式训练3－105，3105解析已知A(0,1)，B(－3,4)，设E(0,5)，D(－3,9)，∴四边形OBDE为菱形．∴∠AOB的角平分线是菱形OBDE的对角线OD.设C(x1，y1)，|OD→|＝310，∴OC→＝2310OD→.∴(x1，y1)＝2310(－3,9)＝－105，3105，即OC→＝－105，3105.课时作业1．B[BC中点为D32，6，AD→＝－52，5，∴|AD→|＝525.]2．D[∵OA→·OB→＝OB→·OC→.∴(OA→－OC→)·OB→＝0.∴OB→·CA→＝0.∴OB⊥AC.同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为垂心．]3．A[BC→＝OC→－OB→＝λa－b.∵BC⊥OA，∴BC→·OA→＝(λa－b)·a＝0，即λa2－a·b＝0.∴λ＝a·b|a|2.]4．B[∵|OB→－OC→|＝|CB→|＝|AB→－AC→|，|OB→＋OC→－2OA→|＝|AB→＋AC→|，∴|AB→－AC→|＝|AB→＋AC→|，∴A，B，C是同一矩形的三个顶点，且∠BAC＝90°.∴△ABC是直角三角形．]5．C[如图所示，由题知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，CE＝33，∴|BC||CE|＝3，∴BC→＝－3CE→.]6．x＋3y－7＝0解析设P(x，y)是所求直线上任一点，直线3x－y＋1＝0的方向向量为(－1，－3)，高一必修四教学合案备课人：年月日第7页共7页由(x－1，y－2)·(－1，－3)＝0得x＋3y－7＝0.7．－25解析△ABC中，B＝90°，cosA＝35，cosC＝45，∴AB→·BC→＝0，BC→·CA→＝4×5×－45＝－16；CA→·AB→＝5×3×－35＝－9.∴AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→＝－25.8．等腰三角形解析∵(DB→＋DC→－2DA→)·(AB→－AC→)＝[(DB→－DA→)＋(DC→－DA→)]·(AB→－AC→)＝(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝AB→2－AC→2＝|AB→|2－|AC→|2＝0，∴|AB→|＝|AC→|，∴△ABC是等腰三角形．9．证明∵四边形ABCD是菱形，∴|AB→|＝|AD→|，又∵AC→＝AB→＋AD→，BD→＝AD→－AB→，∴AC→·BD→＝(AB→＋AD→)·(AD→－AB→)＝|AD→|2－|AB→|2＝0.∴AC→⊥BD→，即AC⊥BD.10．证明如图所示，建立直角坐标系，设A(2,0)，C(0,2)，则D(0,1)，于是AD→＝(－2,1)，AC→＝(－2,2)，设F(x，y)，由BF→⊥AD→，得BF→·AD→＝0，即(x，y)·(－2,1)＝0，∴－2x＋y＝0①